Se U e W subespaços de um espaço vetorial V, podemos afirmar que U cup W é um subespaço vetorial de V ? Justifique.

Passo 1

O enunciado quer saber se a união Ucup W de dois subespaços U e W de um espaço vetorial V é sempre um subespaço de V. O conteúdo que vamos usar é a definição de subespaço vetorial, em especial os critérios de fechamento para soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Uma parte fundamental da definição de subespaço diz que, para um subconjunto Ssubset V ser subespaço, ele deve ser não vazio e satisfazer:
forall,x,yin S:;x+yin S, forall,lambdainK,;xin S:;lambda xin S
Vamos verificar esses critérios para S=Ucup W.

Passo 3

Mostramos que, em geral, Ucup W não é fechado sob soma. Considere o exemplo clássico em V=R^2:
U = (x,0)mid xinR, W = (0,y)mid yinR
Aqui U e W são subespaços (eixo x e eixo y). Tome
u=(1,0)in Usubset Ucup W, w=(0,1)in Wsubset Ucup W
Então u+w=(1,1). Mas (1,1) não pertence nem a U nem a W, logo
u+wnotin Ucup W
Isso viola o fechamento sob soma, mostrando que em geral Ucup W não é subespaço.

Passo 4

O único caso em que Ucup W funciona como subespaço é quando um deles já está contido no outro. Se, por exemplo, Usubset W, então
Ucup W = W,
que é subespaço. Analogamente se Wsubset U. Fora dessas situações, não há fechamento.

Resposta

Não, em geral Ucup W não é subespaço de V. A união só é subespaço exatamente quando Usubset W ou Wsubset U.

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