Se
e
subespaços de um espaço vetorial
, podemos afirmar que
é um subespaço vetorial de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado quer saber se a união
de dois subespaços
e
de um espaço vetorial
é sempre um subespaço de
. O conteúdo que vamos usar é a definição de subespaço vetorial, em especial os critérios de fechamento para soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Uma parte fundamental da definição de subespaço diz que, para um subconjunto
ser subespaço, ele deve ser não vazio e satisfazer:
Vamos verificar esses critérios para
.
Passo 3
Mostramos que, em geral,
não é fechado sob soma. Considere o exemplo clássico em
:
Aqui
e
são subespaços (eixo
e eixo
). Tome
Então
. Mas
não pertence nem a
nem a
, logo
Isso viola o fechamento sob soma, mostrando que em geral
não é subespaço.
Passo 4
O único caso em que
funciona como subespaço é quando um deles já está contido no outro. Se, por exemplo,
, então
que é subespaço. Analogamente se
. Fora dessas situações, não há fechamento.
Resposta
Não, em geral
não é subespaço de
. A união só é subespaço exatamente quando
ou
.