Geometria Analítica
1* Prova
Semestre: 2024.1
Turma: 11
Professor: Beta, Rober Bautista Sanyedra
Lugar e Data : fenzeifo, (09/09/2021
Sejam os vértices A=(1,2), B=(-2,1) e C=(2,3) do triângulo ABC. Calcular o perímetro, a área e os 3 pontos médios dos lados do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa calcular o perímetro, a área e os três pontos médios dos lados do triângulo ABC, onde os vértices são A = (1,2) , B = (-2,1) e C = (2,3) . Para isso, vamos usar fórmulas de distância entre pontos, cálculo de área de um triângulo e pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento de cada lado do triângulo. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2) :
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular as distâncias AB, BC e CA.

Passo 3

Calculando a distância entre A e B ( dAB ):
A = (1,2) e B = (-2,1)
dAB = raiz(-2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = raiz(-3)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10

Passo 4

Calculando a distância entre B e C ( dBC ):
B = (-2,1) e C = (2,3)
dBC = raiz(2 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = raiz4^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 5

Calculando a distância entre C e A ( dCA ):
C = (2,3) e A = (1,2)
dCA = raiz(1 - 2)^2 + (2 - 3)^2 = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos somar para encontrar o perímetro do triângulo:
Perímetro = dAB + dBC + dCA = raiz10 + 2raiz5 + raiz2 í

Passo 7

Para calcular a área do triângulo, vamos usar a fórmula do determinante para três pontos A(xA, yA) , B(xB, yB) e C(xC, yC) :
Área = 12 |xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)| Á
Substituindo os valores:
Área = 12 |1(1 - 3) + (-2)(3 - 2) + 2(2 - 1)| = 12 |-2 -2 + 2| = 12 |-2| = 1 Á
Então, a área do triângulo é 1 unidade de área.

Passo 8

Por último, vamos encontrar os pontos médios dos lados do triângulo usando a fórmula do ponto médio entre dois pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2) :
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Calculando cada um:
  1. Ponto médio de AB ( MAB ):
MAB = ( 1 + (-2)2, 2 + 12 ) = ( -12, 32 )
  1. Ponto médio de BC ( MBC ):
MBC = ( -2 + 22, 1 + 32 ) = (0, 2)
  1. Ponto médio de CA ( MCA ):
MCA = ( 2 + 12, 3 + 22 ) = ( 32, 52 )

Resposta

Perímetro: raiz10 + 2raiz5 + raiz2
Área: 1 unidade de área
Pontos médios:
  • AB: ( -12, 32 )
  • BC: (0, 2)
  • CA: ( 32, 52 )

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