Geometria Analítica
1* Prova
Semestre: 2024.1
Turma: 11
Professor: Beta, Rober Bautista Sanyedra
Lugar e Data : fenzeifo, (09/09/2021
Considere os pontos
e
e a reta r:
. Encontre o centro dos círculos de raio igual a
que passam pelos pontos
e
, e são tangentes à reta r.
1* Prova
Semestre: 2024.1
Turma: 11
Professor: Beta, Rober Bautista Sanyedra
Lugar e Data : fenzeifo, (09/09/2021
Considere os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica que pede para encontrar o centro de círculos com raio igual a
que passam pelos pontos
e
, além de serem tangentes à reta
. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de distância entre pontos e distância de um ponto a uma reta, além de entender como caracterizar uma circunferência no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma circunferência no plano é dada por:
onde
é o centro da circunferência e
é o raio.
Passo 3
Como a circunferência passa pelos pontos
e
, a distância do centro
até cada um desses pontos deve ser igual ao raio
. Podemos escrever isso usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Agora, vamos lidar com a condição de que a circunferência é tangente à reta
. A distância de um ponto
até uma reta
é dada por:
Como a circunferência é tangente à reta, essa distância deve ser igual ao raio:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
→ -
→
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações para resolver. Vamos usar as duas equações das circunferências e as duas possibilidades para
.
Primeiro, expandimos as equações das circunferências:
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Dividindo por -4:
Então, temos
Agora, vamos usar as duas possibilidades para
:
Primeira possibilidade:
Substituindo :
Substituindo
Então,
Segunda possibilidade:
Substituindo :
Substituindo
Então,
Resposta
Os centros dos círculos são
e
.