Geometria Analítica
1* Prova
Semestre: 2024.1
Turma: 11
Professor: Beta, Rober Bautista Sanyedra
Lugar e Data : fenzeifo, (09/09/2021
Considere os pontos A=(1,1) e B=(3,-1) e a reta r: x+y-8=0. Encontre o centro dos círculos de raio igual a 13 raiz2 que passam pelos pontos A e B, e são tangentes à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica que pede para encontrar o centro de círculos com raio igual a 13 raiz2 que passam pelos pontos A=(1,1) e B=(3,-1) , além de serem tangentes à reta r: x + y - 8 = 0 . Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de distância entre pontos e distância de um ponto a uma reta, além de entender como caracterizar uma circunferência no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma circunferência no plano é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.

Passo 3

Como a circunferência passa pelos pontos A e B , a distância do centro (h, k) até cada um desses pontos deve ser igual ao raio r = 13 raiz2 . Podemos escrever isso usando a fórmula da distância entre dois pontos:
raiz(h - 1)^2 + (k - 1)^2 = 13 raiz2
raiz(h - 3)^2 + (k + 1)^2 = 13 raiz2
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
(h - 1)^2 + (k - 1)^2 = ( 13 raiz2 )^2
(h - 3)^2 + (k + 1)^2 = ( 13 raiz2 )^2
Isso nos dá duas equações:
  1. (h - 1)^2 + (k - 1)^2 = 29
  2. (h - 3)^2 + (k + 1)^2 = 29

Passo 4

Agora, vamos lidar com a condição de que a circunferência é tangente à reta r: x + y - 8 = 0 . A distância de um ponto (h, k) até uma reta Ax + By + C = 0 é dada por:
Distância = |Ah + Bk + C|raizA^2 + B^2 â
Como a circunferência é tangente à reta, essa distância deve ser igual ao raio:
|1 cdot h + 1 cdot k - 8|raiz1^2 + 1^2 = 13 raiz2
Simplificando:
|h + k - 8|raiz2 = 13 raiz2
Multiplicando ambos os lados por raiz2 :
|h + k - 8| = 23
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. h + k - 8 = 23 h + k = 263
  2. h + k - 8 = -23 h + k = 223

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações para resolver. Vamos usar as duas equações das circunferências e as duas possibilidades para h + k .
Primeiro, expandimos as equações das circunferências:
  1. (h - 1)^2 + (k - 1)^2 = 29
h^2 - 2h + 1 + k^2 - 2k + 1 = 29
h^2 + k^2 - 2h - 2k + 2 = 29
h^2 + k^2 - 2h - 2k = 29 - 2
h^2 + k^2 - 2h - 2k = -169
  1. (h - 3)^2 + (k + 1)^2 = 29
h^2 - 6h + 9 + k^2 + 2k + 1 = 29
h^2 + k^2 - 6h + 2k + 10 = 29
h^2 + k^2 - 6h + 2k = 29 - 10
h^2 + k^2 - 6h + 2k = -889
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(h^2 + k^2 - 6h + 2k) - (h^2 + k^2 - 2h - 2k) = -889 - (-169)
-4h + 4k = -729
-4h + 4k = -8
Dividindo por -4:
h - k = 2
Então, temos h = k + 2
Agora, vamos usar as duas possibilidades para h + k :
Primeira possibilidade: h + k = 263
Substituindo h = k + 2 :
(k + 2) + k = 263
2k + 2 = 263
2k = 263 - 2
2k = 263 - 63
2k = 203
k = 103
Então, h = 103 + 2 = 163
Segunda possibilidade: h + k = 223
Substituindo h = k + 2 :
(k + 2) + k = 223
2k + 2 = 223
2k = 223 - 2
2k = 223 - 63
2k = 163
k = 83
Então, h = 83 + 2 = 143

Resposta

Os centros dos círculos são ( 163, 103 ) e ( 143, 83 ) .

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