Considere o espaço vetorial
, e os vetores
e
contidos nele.
Construa uma base para
a partir de
. Lembre-se que
.
Construa uma base para
Passo 1
O enunciado trabalha em
, o espaço dos polinômios de grau
, que tem dimensão
. Temos já dois vetores
e precisamos encontrar um terceiro vetor
de modo que
seja uma base de
.
Passo 2
Primeiro vamos checar que
e
são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Isto é,
Comparando coeficientes:
constante: ,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
.
Dessas equações segue e
, logo
é LI.
constante:
coeficiente de
coeficiente de
Dessas equações segue
Passo 3
Escolhemos agora um
que não esteja no span de
. Um candidato simples é o polinômio constante
Para ver que
não se escreve como combinação de
e
, suponha
Comparando coeficientes novamente:
constante: ,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
.
Mas não há que satisfaça simultaneamente
e
. Logo
.
constante:
coeficiente de
coeficiente de
Mas não há
Passo 4
Temos agora três vetores
em
que são linearly independentes e, como a dimensão do espaço é
, isso implica que
forma uma base.
Resposta
Uma base de
contendo
é