Considere o espaço vetorial P2(R), e os vetores v1=1+x e v2=x+x^2 contidos nele.
Construa uma base para P2 a partir de v1, v2. Lembre-se que dim P2=3.

Passo 1

O enunciado trabalha em P2(R), o espaço dos polinômios de grau <=2, que tem dimensão 3. Temos já dois vetores
v1=1+x, v2=x+x^2,
e precisamos encontrar um terceiro vetor v3 de modo que v1,v2,v3 seja uma base de P2(R).

Passo 2

Primeiro vamos checar que v1 e v2 são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,binR tais que
a,v1 + b,v2 = 0
Isto é,
a,(1+x) ;+; b,(x+x^2) ;=; 0 + 0,x + 0,x^2
Comparando coeficientes:
constante: ;a=0,
coeficiente de x: a+b=0,
coeficiente de x^2: b=0.
Dessas equações segue a=0 e b=0, logo v1,v2 é LI.

Passo 3

Escolhemos agora um v3 que não esteja no span de v1,v2. Um candidato simples é o polinômio constante
v3=1
Para ver que 1 não se escreve como combinação de v1 e v2, suponha
a,(1+x) + b,(x+x^2) = 1
Comparando coeficientes novamente:
constante: a=1,
coeficiente de x: a+b=0implies b=-1,
coeficiente de x^2: b=0.
Mas não há b que satisfaça simultaneamente b=-1 e b=0. Logo 1notinspanv1,v2.

Passo 4

Temos agora três vetores v1,v2,v3 em P2(R) que são linearly independentes e, como a dimensão do espaço é 3, isso implica que v1,v2,v3 forma uma base.

Resposta

Uma base de P2(R) contendo v1,v2 é
,1+x,;x+x^2,;1

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