Considere o espaço vetorial , e os vetores e contidos nele.
Os vetores e são L.I.?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
e
em são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula só admite a solução trivial.
Passo 2
Escrevemos uma combinação linear genérica igual a zero:
ou seja,
Expandindo, obtemos o polinômio
Passo 3
Para que esse polinômio seja o polinômio nulo, cada coeficiente deve ser zero. Isto gera o sistema
Da primeira equação vem alpha=0. Substituindo em alpha+beta=0 dá beta=0, que é consistente com a terceira equação.
Passo 4
O único par (alpha,beta) que satisfaz a combinação linear nula é (0,0). Pelo critério de independência, isso mostra que v1 e v2 são linearmente independentes.