Considere o espaço vetorial P2(R), e os vetores v1=1+x e v2=x+x^2 contidos nele.
Os vetores v1 e v2 são L.I.?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=1+x
e
v2=x+x^2
em P2(R) são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula só admite a solução trivial.

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica igual a zero:
alpha,v1 + beta,v2 = 0,
ou seja,
alpha(1+x) + beta(x+x^2) = 0
Expandindo, obtemos o polinômio
alpha + (alpha+beta),x + beta,x^2 = 0

Passo 3

Para que esse polinômio seja o polinômio nulo, cada coeficiente deve ser zero. Isto gera o sistema
alpha = 0, alpha + beta = 0, beta = 0
Da primeira equação vem alpha=0. Substituindo em alpha+beta=0 beta=0, que é consistente com a terceira equação.

Passo 4

O único par (alpha,beta) que satisfaz a combinação linear nula é (0,0). Pelo critério de independência, isso mostra que v1 e v2 são linearmente independentes.

Resposta

Sim, v1 e v2 são linearmente independentes.

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