Determine uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão.
polinômios ímpares de grau <= n.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de todos os polinômios ímpares de grau <= n. Isso é um subespaço de Pn( R). Para resolver, vamos usar que um polinômio p(x) é ímpar se e somente se
p(-x)=-p(x),
o que implica que só aparecem potências ímpares de x.

Passo 2

Seja
p(x)=a0 + a1x + a2x^2 + cdots + anx^n
um polinômio de grau <= n. A condição p(-x)=-p(x) força
a0 = 0,;a2=0,;a4=0,;dots
ou seja, só podem restar os coeficientes das potências ímpares. Logo todo p(x) ímpar é da forma
p(x)=a1x + a3x^3 + a5x^5 + cdots + amx^m,
onde m é o maior inteiro ímpar <= n.

Passo 3

Os monômios
x,;x^3,;x^5,;dots,;x^m
são linearmente independentes em Pn e geram exatamente o conjunto de todos os polinômios ímpares de grau <= n. Portanto
,x,;x^3,;x^5,;dots,;x^m
é uma base do subespaço.

Passo 4

Para contar quantos elementos há nessa base, note que os expoentes são todos os ímpares entre 1 e n. O número de inteiros ímpares <= n é
lfloorn+12rfloor
Assim a dimensão do espaço de polinômios ímpares de grau <= n é
dim = lfloorn+12rfloor

Resposta

Uma base é
,x,;x^3,;x^5,;dots,;x^m,
onde m é o maior inteiro ímpar <= n, e
dim = lfloorn+12rfloor

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