Determine uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão.
polinômios ímpares de grau
.
polinômios ímpares de grau
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de todos os polinômios ímpares de grau
. Isso é um subespaço de
. Para resolver, vamos usar que um polinômio
é ímpar se e somente se
o que implica que só aparecem potências ímpares de
.
Passo 2
Seja
um polinômio de grau
. A condição
força
ou seja, só podem restar os coeficientes das potências ímpares. Logo todo
ímpar é da forma
onde
é o maior inteiro ímpar
.
Passo 3
Os monômios
são linearmente independentes em
e geram exatamente o conjunto de todos os polinômios ímpares de grau
. Portanto
é uma base do subespaço.
Passo 4
Para contar quantos elementos há nessa base, note que os expoentes são todos os ímpares entre
e
. O número de inteiros ímpares
é
Assim a dimensão do espaço de polinômios ímpares de grau
é
Resposta
Uma base é
onde
é o maior inteiro ímpar
, e