Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado.
W^{\perp}, onde W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] / 2 x-y+3 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x - y + 3z = 0\bigr\}
e pede a dimensão e uma base de W^\perp. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a relação de dimensões em espaços euclidianos.

Passo 2

Observe que W é o núcleo do funcional linear
f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad f(x,y,z)=2x - y + 3z.
Pelo fato de W=\ker(f), o complemento ortogonal W^\perp é gerado pelos coeficientes de f, ou seja, pelo vetor normal
n=(2,-1,3).

Passo 3

Em \mathbb{R}^3 vale a relação
\dim(W) + \dim(W^\perp) = 3.
Como W é dado por uma única equação linear não trivial, tem-se \dim(W)=2. Portanto
\dim(W^\perp)=3-2=1.

Passo 4

O vetor n=(2,-1,3) é não nulo e satisfaz n\cdot w=0 para todo w\in W, logo gera W^\perp. Assim
W^\perp = \operatorname{span}\{(2,-1,3)\}.

Resposta

\dim(W^\perp)=1
Base de W^\perp: \{(2,-1,3)\}

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