Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado.
W^{\perp}, onde W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] / x+y=0,2 x-2 y-z=0\right\}

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 o subespaço
W = \bigl\{(x,y,z)^{T}\mid x + y = 0,\;2x - 2y - z = 0\bigr\}
e pede a dimensão e uma base de W^{\perp}.
Conteúdo chave: se W é o núcleo de uma matriz A (isto é, W = \ker A), então W^{\perp} é o espaço gerado pelas linhas de A, com \dim W^{\perp} = \mathrm{rank}(A).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes das equações que definem W:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix},
de modo que
W = \{\,v\in\mathbb{R}^3\mid A\,v = 0\}.
Logo
W^{\perp} = \mathrm{RowSpace}(A) = \mathrm{span}\bigl\{(1,1,0),\,(2,-2,-1)\bigr\}.

Passo 3

Para achar \dim W^{\perp}\) basta calcular \(\mathrm{rank}(A)\). Verificamos se as duas linhas de \(A\) são independentes: suponha \[\alpha\,(1,1,0) + \beta\,(2,-2,-1) = (0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\ \alpha - 2\beta = 0,\\\\ -\,\beta = 0. \end{cases}
Da última equação vem \beta=0\], e então \(\alpha=0. Logo as linhas são independentes e
\mathrm{rank}(A)=2.

Passo 4

Concluímos que
\dim W^{\perp} = 2
e uma base natural de W^{\perp} é dada pelas próprias linhas de A, ou seja
\{(1,\,1,\,0),\;(2,\,-2,\,-1)\}.

Resposta

\dim W^{\perp}=2.
Uma base possível é
\{(1,1,0),\,(2,-2,-1)\}.

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