Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado. W^{\perp}, onde W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] / x+y=0,2 x-2 y-z=0\right\}
Passo 1
O enunciado define em \mathbb{R}^3 o subespaço
W = \bigl\{(x,y,z)^{T}\mid x + y = 0,\;2x - 2y - z = 0\bigr\}
e pede a dimensão e uma base de W^{\perp}.
Conteúdo chave: se W é o núcleo de uma matriz A (isto é, W = \ker A), então W^{\perp} é o espaço gerado pelas linhas de A, com \dim W^{\perp} = \mathrm{rank}(A).
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes das equações que definem W:
Para achar \dim W^{\perp}\) basta calcular \(\mathrm{rank}(A)\). Verificamos se as duas linhas de \(A\) são independentes:
suponha
\[\alpha\,(1,1,0) + \beta\,(2,-2,-1) = (0,0,0).