Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado.
(\operatorname{Col}(A))^{\perp} e N u l(A)^{\perp}, para A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\\\ 5 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

Resumo do enunciado: temos em \mathbb{R}^n a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 5 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
e queremos
(\Col(A))^\perp e \Nul(A)^\perp.
Conteúdo usado: espaços ortogonais, Teorema Fundamental da Álgebra Linear (rank–nullity) e as identidades
(\Col(A))^\perp = \Nul(A^T), \qquad \Nul(A)^\perp = \Col(A^T).

Passo 2

Cálculo do posto de A. Denotemos as colunas de A por
c_1=(1,5,0,-1),\quad c_2=(-1,2,1,-1),\quad c_3=(3,1,-2,1).
Verificamos que existe relação
c_3 = 1\cdot c_1 + (-2)\cdot c_2,
logo as três colunas são linearmente dependentes e as duas primeiras são independentes. Portanto
\rank(A)=2.

Passo 3

Da teoria de espaços ortogonais e rank–nullity:
1. \dim(\Col(A))=2 em \mathbb{R}^4, então
\dim\bigl((\Col(A))^\perp\bigr)=4-2=2. 2. \dim(\Nul(A))= número de colunas -\rank(A)=3-2=1 em \mathbb{R}^3, então
\dim\bigl(\Nul(A)^\perp\bigr)=3-1=2.

Passo 4

Base de (\Col(A))^\perp = \Nul(A^T)\). Resolvemos \[A^T x = 0,\quad x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T.
As equações são
\begin{cases} x_1+5x_2 - x_4 = 0,\\\\ -\,x_1+2x_2 + x_3 - x_4 = 0,\\\\ 3x_1 + x_2 -2x_3 + x_4 = 0. \end{cases}
Fazendo eliminação obtemos dois pivôs e dois parâmetros livres t=x_2\] e \(s=x_4, ficando
x=(x_1,x_2,x_3,x_4) =(-5t+s,\;t,\;-7t+2s,\;s) =t\,(-5,1,-7,0) + s\,(1,0,2,1).
Logo uma base para (\Col(A))^\perp é
\{\,(-5,1,-7,0)^T,\;(1,0,2,1)^T\}.

Passo 5

Base de \Nul(A)^\perp = \Col(A^T). Basta escolher duas colunas independentes de A^T, que são as linhas de A como vetores em \mathbb{R}^3. Por exemplo, as duas primeiras colunas de A^T são
(1,-1,3)^T \quad\text{e}\quad (5,2,1)^T,
que são independentes.
Portanto uma base para \Nul(A)^\perp é
\{(1,-1,3)^T,\;(5,2,1)^T\}.

Resposta

(\mathrm{Col}(A))^\perp: dimensão 2, base \{(-5,1,-7,0)^T,\;(1,0,2,1)^T\}. \mathrm{Nul}(A)^\perp: dimensão 2, base \{(1,-1,3)^T,\;(5,2,1)^T\}.

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