Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado. (\operatorname{Col}(A))^{\perp} e N u l(A)^{\perp}, para A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\\\ 5 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]
Passo 1
Resumo do enunciado: temos em \mathbb{R}^n a matriz
logo as três colunas são linearmente dependentes e as duas primeiras são independentes. Portanto
\rank(A)=2.
Passo 3
Da teoria de espaços ortogonais e rank–nullity: 1. \dim(\Col(A))=2 em \mathbb{R}^4, então \dim\bigl((\Col(A))^\perp\bigr)=4-2=2. 2. \dim(\Nul(A))= número de colunas -\rank(A)=3-2=1 em \mathbb{R}^3, então \dim\bigl(\Nul(A)^\perp\bigr)=3-1=2.
Passo 4
Base de (\Col(A))^\perp = \Nul(A^T)\). Resolvemos
\[A^T x = 0,\quad x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T.
Base de \Nul(A)^\perp = \Col(A^T). Basta escolher duas colunas independentes de A^T, que são as linhas de A como vetores em \mathbb{R}^3. Por exemplo, as duas primeiras colunas de A^T são
(1,-1,3)^T \quad\text{e}\quad (5,2,1)^T,
que são independentes.
Portanto uma base para \Nul(A)^\perp é
\{(1,-1,3)^T,\;(5,2,1)^T\}.
Resposta
(\mathrm{Col}(A))^\perp: dimensão 2, base \{(-5,1,-7,0)^T,\;(1,0,2,1)^T\}. \mathrm{Nul}(A)^\perp: dimensão 2, base \{(1,-1,3)^T,\;(5,2,1)^T\}.