Determine se o ângulo entre os vetores u, v \in V é agudo, obtuso ou reto.
V=\mathbb{R}^{4}, espaço euclideano e u=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{c}-3 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificar o ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^4 como agudo, reto ou obtuso. Para isso vamos usar o produto escalar e a relação
\cos(\theta)=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|},
sabendo que se \langle u,v\rangle>0 o ângulo é agudo, se \langle u,v\rangle=0 é reto, e se \langle u,v\rangle<0 é obtuso.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\langle u,v\rangle =1\cdot(-3)+2\cdot1+3\cdot2+4\cdot(-2) =-3+2+6-8 =-3.

Passo 3

Calcular as normas (só para confirmar que são positivas):
\|u\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=\sqrt{30}, \quad \|v\|=\sqrt{(-3)^2+1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{18}.

Passo 4

Observar que \langle u,v\rangle=-3<0 e que \|u\|\|v\|>0. Logo
\cos(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{30}\,\sqrt{18}}<0,
o que implica que o ângulo é obtuso.

Resposta

O ângulo entre u e v é obtuso.

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