Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado. (\operatorname{Col}(A))^{\perp} e \operatorname{Nul}(A)^{\perp}, para A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 1 \\\\ 3 & -2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]
definida em \mathbb{R}^2 com imagem (Coluna de A) em \mathbb{R}^4. Precisamos determinar, em cada caso, a dimensão e uma base de
(\mathrm{Col}(A))^\perp\subset\mathbb{R}^4,
\mathrm{Nul}(A)^\perp\subset\mathbb{R}^2.
Os conteúdos usados serão noções de posto de matriz, subespaços coluna e nulo, e complementos ortogonais via sistemas homogêneos.
Passo 2
Primeiro achamos o posto de A. As duas colunas de A, \,(1,-1,3,-2)^T e (0,1,-2,1)^T,
são linearmente independentes (uma não é múltiplo da outra), logo
\rank(A)=2.
Isso implica \dim(\mathrm{Col}(A))=2 em \mathbb{R}^4,
e portanto
\dim\bigl((\mathrm{Col}(A))^\perp\bigr)=4-2=2.
Passo 3
Para obter uma base de (\mathrm{Col}(A))^\perp\), resolvemos
\[A^T y=0,\qquad y=(y_1,y_2,y_3,y_4)^T\in\mathbb{R}^4.
da primeira vem x_1=0\], e da segunda \(x_2=0. Assim
\mathrm{Nul}(A)=\{(0,0)\} e \dim(\mathrm{Nul}(A))=0.
Passo 5
Em \mathbb{R}^2, o complemento ortogonal de \{0\} é todo o espaço:
\dim\bigl(\mathrm{Nul}(A)^\perp\bigr)=2-0=2,
e de fato \mathrm{Nul}(A)^\perp coincide com o espaço gerado pelas linhas de A (o espaço linha), que tem posto 2. Uma base simples é a base canônica \{(1,0),\,(0,1)\}
ou podemos tomar duas linhas independentes de A, por exemplo \{(1,0),\,(-1,1)\}.
Resposta
Para A=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\\\ 3&-2\\\ -2&1\end{pmatrix}:
(a) \dim\bigl((\mathrm{Col}(A))^\perp\bigr)=2, base \{(-1,2,1,0)^T,\,(1,-1,0,1)^T\}.
(b) \dim\bigl(\mathrm{Nul}(A)^\perp\bigr)=2, base por exemplo \{(1,0),\,(0,1)\}.