Considere espaços euclideanos \mathbb{R}^{n}. Em cada caso determine a dimensão e uma base para o espaço indicado.
(\operatorname{Col}(A))^{\perp} e \operatorname{Nul}(A)^{\perp}, para A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 1 \\\\ 3 & -2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ -1&1\\\\ 3&-2\\\\ -2&1 \end{pmatrix}
definida em \mathbb{R}^2 com imagem (Coluna de A) em \mathbb{R}^4. Precisamos determinar, em cada caso, a dimensão e uma base de
  1. (\mathrm{Col}(A))^\perp\subset\mathbb{R}^4,
  2. \mathrm{Nul}(A)^\perp\subset\mathbb{R}^2.
    Os conteúdos usados serão noções de posto de matriz, subespaços coluna e nulo, e complementos ortogonais via sistemas homogêneos.

Passo 2

Primeiro achamos o posto de A. As duas colunas de A,
\,(1,-1,3,-2)^T e (0,1,-2,1)^T,
são linearmente independentes (uma não é múltiplo da outra), logo
\rank(A)=2.
Isso implica
\dim(\mathrm{Col}(A))=2 em \mathbb{R}^4,
e portanto
\dim\bigl((\mathrm{Col}(A))^\perp\bigr)=4-2=2.

Passo 3

Para obter uma base de (\mathrm{Col}(A))^\perp\), resolvemos \[A^T y=0,\qquad y=(y_1,y_2,y_3,y_4)^T\in\mathbb{R}^4.
Escrevendo o sistema:
\begin{cases} 1\cdot y_1 -1\cdot y_2 +3\cdot y_3 -2\cdot y_4 =0,\\\\ 0\cdot y_1 +1\cdot y_2 -2\cdot y_3 +1\cdot y_4 =0, \end{cases}
da segunda equação vem y_2=2y_3-y_4\]. Substituindo na primeira obtém-se \(y_1=-y_3+y_4. Tomando y_3=s, y_4=t,
y=s\,(-1,2,1,0)^T \;+\; t\,(1,-1,0,1)^T.
Logo, uma base de (\mathrm{Col}(A))^\perp é
\{\,(-1,2,1,0)^T,\;(1,-1,0,1)^T\},
com dimensão 2.

Passo 4

Agora calculamos \mathrm{Nul}(A)\subset\mathbb{R}^2\) resolvendo \[A\,x=0,\qquad x=(x_1,x_2)^T.
As equações são
\begin{cases} x_1=0,\\\\ -\,x_1 +x_2=0, \end{cases}
da primeira vem x_1=0\], e da segunda \(x_2=0. Assim
\mathrm{Nul}(A)=\{(0,0)\} e
\dim(\mathrm{Nul}(A))=0.

Passo 5

Em \mathbb{R}^2, o complemento ortogonal de \{0\} é todo o espaço:
\dim\bigl(\mathrm{Nul}(A)^\perp\bigr)=2-0=2,
e de fato \mathrm{Nul}(A)^\perp coincide com o espaço gerado pelas linhas de A (o espaço linha), que tem posto 2. Uma base simples é a base canônica
\{(1,0),\,(0,1)\}
ou podemos tomar duas linhas independentes de A, por exemplo \{(1,0),\,(-1,1)\}.

Resposta

Para A=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\\\ 3&-2\\\ -2&1\end{pmatrix}:
(a) \dim\bigl((\mathrm{Col}(A))^\perp\bigr)=2, base \{(-1,2,1,0)^T,\,(1,-1,0,1)^T\}.
(b) \dim\bigl(\mathrm{Nul}(A)^\perp\bigr)=2, base por exemplo \{(1,0),\,(0,1)\}.

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