Seja a base canônica do (operações usuais)
Prove que é base do , obtenha (justifique) (matriz de mudança de base da base para a base ) e, dados abaixo os vetores no , obtenha as coordenadas de cada um desses vetores em relação à base .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é base de , obter a matriz de mudança de base de (base canônica) para , ou seja , e depois, para os vetores
calcular as coordenadas de cada um em relação à base .
Conteúdos necessários: definição de base (linearmente independente e gera ), determinante para testar independência, matriz de mudança de base e cálculo de coordenadas via inversa.
Passo 2
Para mostrar que é base, basta verificar que seus vetores são linearmente independentes. Colocamos esses vetores como colunas da matriz
e calculamos seu determinante. Por exemplo, expandindo pela primeira linha:
det A = 0cdotdet1&2-1&3 -1cdotdet1&23&3 +1cdotdet1&13&-1 =-1,(1cdot3-2cdot3)+ (1cdot(-1)-1cdot3) =3-4=-1neq0
Como det Aneq0, os vetores são independentes e geram R^3, logo beta é base.
Passo 3
A matriz de mudança de base de alpha para beta, [I]beta^alpha, é justamente a matriz cujas colunas são as coordenas dos vetores de beta na base canônica alpha. Assim,