Seja alpha a base canônica do R^3 (operações usuais)
Prove que beta=(0,1,3),(1,1,-1),(1,2,3) é base do R^3, obtenha (justifique) [I]beta^alpha (matriz de mudança de base da base alpha para a base beta ) e, dados abaixo os vetores u, v, w, s no R^3, obtenha as coordenadas de cada um desses vetores em relação à base beta.
u=(1,0,0) v=(0,-2,1) w=(1,3,-2) s=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
beta = , (0,1,3),;(1,1,-1),;(1,2,3)
é base de R^3, obter a matriz de mudança de base de alpha (base canônica) para beta, ou seja [I]beta^alpha, e depois, para os vetores
u=(1,0,0), v=(0,-2,1), w=(1,3,-2), s=(1,1,1),
calcular as coordenadas de cada um em relação à base beta.
Conteúdos necessários: definição de base (linearmente independente e gera R^3), determinante para testar independência, matriz de mudança de base e cálculo de coordenadas via inversa.

Passo 2

Para mostrar que beta é base, basta verificar que seus vetores são linearmente independentes. Colocamos esses vetores como colunas da matriz
A = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 2 3 & -1 & 3
e calculamos seu determinante. Por exemplo, expandindo pela primeira linha:
det A = 0cdotdet1&2-1&3 -1cdotdet1&23&3 +1cdotdet1&13&-1 =-1,(1cdot3-2cdot3)+ (1cdot(-1)-1cdot3) =3-4=-1neq0
Como det Aneq0, os vetores são independentes e geram R^3, logo beta é base.

Passo 3

A matriz de mudança de base de alpha para beta, [I]beta^alpha, é justamente a matriz cujas colunas são as coordenas dos vetores de beta na base canônica alpha. Assim,
[I]beta^alpha = A = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 2 3 & -1 & 3

Passo 4

Para calcular coordenadas em beta de um vetor x, resolvemos
A,[x]beta = [x]alpha
Como det A=-1, A é invertível e
[x]beta = A^-1,[x]alpha
Usando o método de cofatores (ou qualquer outro) obtemos
A^-1 = -5 & 4 & -1 -3 & 3 & -1 4 & -3 & 1

Passo 5

Agora aplicamos [x]beta=A^-1x a cada vetor dado:
  1. u=(1,0,0):
[u]beta = A^-1100 = -5-34
  1. v=(0,-2,1):
[v]beta = A^-10-21 = -243-3 +-1-11 = -9-77
  1. w=(1,3,-2):
[w]beta = A^-113-2 = -5cdot1 +4cdot3 +(-1)cdot(-2) -3cdot1 +3cdot3 +(-1)cdot(-2) 4cdot1 +(-3)cdot3 +1cdot(-2) = 98-7
  1. s=(1,1,1):
[s]beta = A^-1111 = -5+4-1 -3+3-1 4-3+1 = -2-12

Resposta

A base beta é válida pois det A=-1neq0.
A matriz de mudança de base [I]beta^alpha é
0 & 1 & 1 1 & 1 & 2 3 & -1 & 3
As coordenadas dos vetores em beta são:
[u]beta = -5-34, [v]beta = -9-77, [w]beta = 98-7, [s]beta = -2-12

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