Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçães usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:
V=R^2, W=(-x^2, 2 x) ; x in R

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = R^2 com as operações usuais, e a parte candidata a subespaço
W = l(-x^2,,2x);;;xinRr
Para verificar se W é subespaço de V, vamos usar a definição: W é subespaço se e somente se
  1. 0in W.
  2. W é fechado sob soma: para todo u,vin W, u+vin W.
  3. W é fechado sob produto escalar: para todo lambdainR e uin W, lambda uin W.

Passo 2

Verificação do vetor zero.
Escolhendo x=0 em
(-x^2,2x)=(-0^2,2cdot0)=(0,0),
vemos que 0=(0,0)in W.

Passo 3

Verificação de fechamento sob soma.
Sejam
u = (-x^2,,2x)in W e v = (-y^2,,2y)in W,
com x,yinR. Então
u + v = l(-x^2 - y^2,;2x + 2yr) = l(-x^2 - y^2,;2(x+y)r)
Para que u+v esteja em W, deve existir um zinR tal que
(-x^2 - y^2,;2(x+y)) = (-z^2,;2z)
Da igualdade nas segundas componentes segue 2z = 2(x+y), ou seja z = x+y. Mas então a primeira componente exigiria
-z^2 = -(x+y)^2 = -x^2 - 2xy - y^2,
que é diferente de -x^2 - y^2 sempre que xyneq0. Logo, em geral
(-x^2 - y^2,;2(x+y)) neq l(-(x+y)^2,;2(x+y)r),
e assim u+vnotin W.

Passo 4

Como falha o fechamento sob adição, não precisamos verificar produto escalar: W não é subespaço de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2, pois não é fechado sob adição.

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