Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçães usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais, e a parte candidata a subespaço
Para verificar se
é subespaço de
, vamos usar a definição:
é subespaço se e somente se
-
. -
é fechado sob soma: para todo , . -
é fechado sob produto escalar: para todo e , .
Passo 2
Verificação do vetor zero.
Escolhendo em
,
vemos que .
Escolhendo
vemos que
Passo 3
Verificação de fechamento sob soma.
Sejam
Sejam
com
. Então
Para que
esteja em
, deve existir um
tal que
Da igualdade nas segundas componentes segue
, ou seja
. Mas então a primeira componente exigiria
que é diferente de
sempre que
. Logo, em geral
e assim
.
Passo 4
Como falha o fechamento sob adição, não precisamos verificar produto escalar:
não é subespaço de
.