Dados abaixo os subespaços W1, W2 subset R^4 (espaço vetorial), obtenha (justificando) bases de W1 e W2, a dimensão de W1 cap W2 e a dimensão de W1+W2. Responda (justifique) ainda se a soma W1+W2 é direta e se W1+W2=R^4
& W1=(x, y, z, w) in R^4 ; x-y=0=z+2 w & W2=(a+b, b, 2 c, 0) in R^4 ; a, b, c in R

Passo 1

O enunciado define os subespaços
W1=(x,y,z,w)inR^4mid x-y=0,;z+2w=0,
W2=(a+b,b,2c,0)inR^4mid a,b,cinR
Precisamos encontrar bases de W1 e W2, calcular dim(W1cap W2) e dim(W1+W2), e determinar se a soma é direta e se W1+W2=R^4. Usaremos parametrização de subespaços e a fórmula de dimensões.

Passo 2

Para W1 temos as equações lineares
x-y=0,
z+2w=0
Tomando parâmetros s=x e t=w, obtemos
(x,y,z,w)=(s,s,-2t,t)=s,(1,1,0,0)+t,(0,0,-2,1)
Logo uma base de W1 é
(1,1,0,0),,(0,0,-2,1),
e
dim(W1)=2

Passo 3

Em W2 cada vetor é (a+b,b,2c,0) com a,b,c livres. Escolhendo vetores geradores:
a=1,b=0,c=0implies(1,0,0,0),
a=0,b=1,c=0implies(1,1,0,0),
a=0,b=0,c=1implies(0,0,2,0)
Verifica-se independência linear, então uma base de W2 é
(1,0,0,0),,(1,1,0,0),,(0,0,2,0),
e
dim(W2)=3

Passo 4

Para achar W1cap W2, igualamos um vetor genérico de W1,
(s,s,-2t,t),
com um de W2,
(a+b,b,2c,0)
Das coordenadas obtemos o sistema
s=b, -2t=2c, t=0, s-b=a=0
Logo a=0, t=0, c=0 e s=b. Portanto
W1cap W2=(b,b,0,0)mid binR=span(1,1,0,0)

Passo 5

Dessa forma
dim(W1cap W2)=1
Pelo teorema da dimensão da soma de subespaços,
dim(W1+W2) =dim(W1)+dim(W2)-dim(W1cap W2) =2+3-1=4

Passo 6

A soma é direta se e somente se W1cap W2=0. Aqui dim(W1cap W2)=1neq0, logo não é soma direta.

Passo 7

Como dim(W1+W2)=4=dim(R^4) e W1+W2subseteqR^4, segue que
W1+W2=R^4

Resposta

Base de W1: (1,1,0,0),,(0,0,-2,1)
Base de W2: (1,0,0,0),,(1,1,0,0),,(0,0,2,0)
dim(W1cap W2)=1
dim(W1+W2)=4
A soma não é direta.
W1+W2=R^4.

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