Dados abaixo os subespaços
(espaço vetorial), obtenha (justificando) bases de
e
, a dimensão de
e a dimensão de
. Responda (justifique) ainda se a soma
é direta e se
Passo 1
O enunciado define os subespaços
Precisamos encontrar bases de
e
, calcular
e
, e determinar se a soma é direta e se
. Usaremos parametrização de subespaços e a fórmula de dimensões.
Passo 2
Para
temos as equações lineares
Tomando parâmetros
e
, obtemos
Logo uma base de
é
e
Passo 3
Em
cada vetor é
com
livres. Escolhendo vetores geradores:
Verifica-se independência linear, então uma base de
é
e
Passo 4
Para achar
, igualamos um vetor genérico de
,
com um de
,
Das coordenadas obtemos o sistema
Logo
,
,
e
. Portanto
Passo 5
Dessa forma
Pelo teorema da dimensão da soma de subespaços,
Passo 6
A soma é direta se e somente se
. Aqui
, logo não é soma direta.
Passo 7
Como
e
, segue que
Resposta
Base de
:
Base de :
A soma não é direta.
.
Base de
A soma não é direta.