Considere que a espessura de certo óxido em semicondutores seja normalmente distribuída com média
e variância
. Alguns valores dessa espessura foram coletados:
Calcule as estimativas de máxima verossimilhança de
e de
. (Resposta:
e
)
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado pede e o que temos. Foi dito que a espessura é normalmente distribuída com média
e variância
. Foram coletados
valores (peguei todos os números do enunciado):
O que o enunciado pede: calcular as estimativas de máxima verossimilhança (MLE) de
e de
.
Passo 2
Relembrando a teoria (passo-a-passo, do jeitinho que cai na prova). Se
são independentes e identicamente distribuídas como
, a função densidade de probabilidade de cada
é
A verossimilhança conjunta dos
dados é o produto dessas densidades; usualmente trabalhamos com o log-verossimilhança (mais fácil de derivar):
Para obter os estimadores de máxima verossimilhança, derivamos
em relação a
e
, igualamos a zero e resolvemos.
Derivando em relação a
:
Igualando a zero obtemos
Portanto o MLE para
é a média amostral:
Passo 3
Calcular numericamente a média amostral. Primeiro contei
observações. Agora somar todos os valores (mostro o resultado da soma):
Logo
Comentário prático: em prova faça a soma com cuidado (agrupando ou usando uma conta em papel), e divida por
.
Passo 4
Agora derivada em relação a
. Da log-verossimilhança:
Igualando a zero e resolvendo para
(substituindo
por
depois) dá
Observação importante (ponto que costuma confundir): esse
é o estimador de máxima verossimilhança e usa divisor
. O estimador amostral não-viesado usa divisor
. O enunciado pede MLE, então usamos
.
Passo 5
Para calcular
de forma prática podemos usar a identidade
Já temos
. Agora calculei a soma dos quadrados:
Então
e
Subtraindo:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Recapitulando de forma curta: o MLE da média é a média amostral e o MLE da variância é a média dos quadrados das diferenças em relação à média amostral; calculei explicitamente os somatórios e obtive os valores numéricos acima. Força aí — faz sentido? Dá pra repetir os passos rápidos na prova: somar, dividir por
para a média, calcular soma dos quadrados (ou das diferenças) e dividir por
para a variância (MLE).