Considere que a espessura de certo óxido em semicondutores seja normalmente distribuída com média \mu e variância \sigma^{2}. Alguns valores dessa espessura foram coletados:
\begin{aligned} & 425 ; 431 ; 416 ; 419 ; 421 ; 436 ; 418 ; 410 ; 431 ; 433 ; 423 ; 426 ; \\\ & 410 ; 435 ; 436 ; 428 ; 411 ; 426 ; 409 ; 437 ; 422 ; 428 ; 413 ; 416 . \end{aligned}
Calcule as estimativas de máxima verossimilhança de \mu e de \sigma^{2}. (Resposta: \hat{\mu}=423,33 e \hat{\sigma^{2}}=79,06 )

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado pede e o que temos. Foi dito que a espessura é normalmente distribuída com média \mu e variância \sigma^{2}. Foram coletados 24 valores (peguei todos os números do enunciado):
\begin{aligned} &425,\\\ 431,\\\ 416,\\\ 419,\\\ 421,\\\ 436,\\\ 418,\\\ 410,\\\ 431,\\\ 433,\\\ 423,\\\ 426,\\\ &410,\\\ 435,\\\ 436,\\\ 428,\\\ 411,\\\ 426,\\\ 409,\\\ 437,\\\ 422,\\\ 428,\\\ 413,\\\ 416. \end{aligned}
O que o enunciado pede: calcular as estimativas de máxima verossimilhança (MLE) de \mu e de \sigma^{2}.

Passo 2

Relembrando a teoria (passo-a-passo, do jeitinho que cai na prova). Se X_{1},\dots,X_{n} são independentes e identicamente distribuídas como \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), a função densidade de probabilidade de cada X_{i} é
f(x_i;\mu,\sigma^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\left(-\frac{(x_i-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right).
A verossimilhança conjunta dos n dados é o produto dessas densidades; usualmente trabalhamos com o log-verossimilhança (mais fácil de derivar):
\ell(\mu,\sigma^{2})=\log L(\mu,\sigma^{2})=-\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^{2})-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^{2}.
Para obter os estimadores de máxima verossimilhança, derivamos \ell em relação a \mu e \sigma^{2}, igualamos a zero e resolvemos.
Derivando em relação a \mu:
\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = -\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu).
Igualando a zero obtemos
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)=0 \quad\Rightarrow\quad n\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i.
Portanto o MLE para \mu é a média amostral:
\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.

Passo 3

Calcular numericamente a média amostral. Primeiro contei n=24 observações. Agora somar todos os valores (mostro o resultado da soma):
\sum_{i=1}^{24} x_i = 10160.
Logo
\hat{\mu}=\frac{10160}{24}=423{,}333\ldots = 423{,}33\quad(\text{arredondando duas casas decimais}).
Comentário prático: em prova faça a soma com cuidado (agrupando ou usando uma conta em papel), e divida por n.

Passo 4

Agora derivada em relação a \sigma^{2}. Da log-verossimilhança:
\frac{\partial \ell}{\partial \sigma^{2}} = -\frac{n}{2}\frac{1}{\sigma^{2}} + \frac{1}{2(\sigma^{2})^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^{2}.
Igualando a zero e resolvendo para \sigma^{2} (substituindo \mu por \hat{\mu} depois) dá
\hat{\sigma^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\hat{\mu})^{2}.
Observação importante (ponto que costuma confundir): esse \hat{\sigma^{2}} é o estimador de máxima verossimilhança e usa divisor n. O estimador amostral não-viesado usa divisor n-1. O enunciado pede MLE, então usamos n.

Passo 5

Para calcular \hat{\sigma^{2}} de forma prática podemos usar a identidade
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\hat{\mu})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-\hat{\mu}^{2}.
Já temos \hat{\mu}. Agora calculei a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{24} x_i^{2}=4\,302\,964.
Então
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}=\frac{4\,302\,964}{24}=179\,290{,}166\ldots
e
\hat{\mu}^{2}=(423{,}333\ldots)^{2}=179\,211{,}111\ldots
Subtraindo:
\hat{\sigma^{2}}=179\,290{,}166\ldots - 179\,211{,}111\ldots =79{,}0555\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
\hat{\sigma^{2}}=79{,}06.

Passo 6

Recapitulando de forma curta: o MLE da média é a média amostral e o MLE da variância é a média dos quadrados das diferenças em relação à média amostral; calculei explicitamente os somatórios e obtive os valores numéricos acima. Força aí — faz sentido? Dá pra repetir os passos rápidos na prova: somar, dividir por n para a média, calcular soma dos quadrados (ou das diferenças) e dividir por n para a variância (MLE).

Resposta

\hat{\mu}=423{,}33
\hat{\sigma^{2}}=79{,}06

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