Seja X uma variável aleatória Gama, cuja f d p é dada por:
f(x, r, \lambda)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\lambda}{\Gamma(r)}(\lambda x)^{r-1} e^{-\lambda x}, & \text { com } r>0, x>0 \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array}\right.
Obtenha as equações que têm de ser resolvidas para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetro r e \lambda. Quais as complicações envolvidas na resolução destas equações? (Resposta: \lambda=\frac{r}{x} e n \ln \lambda+\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}=n \frac{\Gamma^{\prime}(r)}{\Gamma r}; métodos numéricos computacionais são requeridos.)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei implicitamente que há uma amostra iid de tamanho [n) com observações x_1,\dots,x_n):
  • Dado: a densidade de probabilidade de uma variável aleatória Gama, com parâmetros r>0 (forma) e \lambda>0 (taxa), é
f(x;r,\lambda)=\begin{cases} \dfrac{\lambda}{\Gamma(r)}(\lambda x)^{r-1}e^{-\lambda x}, & x>0,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Considera-se uma amostra iid \;X_1,\dots,X_n\]\; com realizações \(\;x_1,\dots,x_n>0.
  • O que pedir: obter as equações que os estimadores de máxima verossimilhança (MLE) \widehat r e \widehat\lambda devem satisfazer; e comentar as dificuldades na resolução destas equações.]

Passo 2

Escrevendo a função verossimilhança para a amostra (produto das densidades) e o log-verossimilhança:
  • Produto das densidades (verossimilhança):
L(r,\lambda)=\prod_{i=1}^n f(x_i;r,\lambda) =\prod_{i=1}^n \frac{\lambda}{\Gamma(r)}(\lambda x_i)^{r-1}e^{-\lambda x_i}.
  • Simplificando powers e produtos (sempre usar somas de logs é mais prático):
L(r,\lambda)=\frac{\lambda^{nr}}{\Gamma(r)^n}\,\prod_{i=1}^n x_i^{\,r-1}\,e^{-\lambda\sum_{i=1}^n x_i}.
  • Log-verossimilhança (mais fácil para derivar):
\ell(r,\lambda)=\ln L(r,\lambda) = n r\ln\lambda - n\ln\Gamma(r) + (r-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i - \lambda\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui explico cada termo didaticamente:
  • n r\ln\lambda vem de \lambda^{nr} — log vira multiplicação.
  • -n\ln\Gamma(r) porque \Gamma(r)^{-n}.
  • (r-1)\sum \ln x_i vem de \prod x_i^{r-1} (produto vira soma de logs).
  • -\lambda\sum x_i vem do fator exponencial.

Passo 3

Derivadas parciais da log-verossimilhança e equações normais (condições de ponto crítico):
  • Derivada em relação a \lambda. Para maximizar, igualamos a derivada a zero.
\frac{\partial \ell}{\partial \lambda} = \frac{n r}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i.
Igualando a zero:
\frac{n r}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0 \quad\Longrightarrow\quad \hat\lambda = \frac{n r}{\sum_{i=1}^n x_i}.
  • Interpretando e simplificando esse resultado: escrevendo a média amostral
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
temos de forma mais intuitiva
\hat\lambda = \frac{r}{\bar x}.
Isto faz sentido porque, para a Gama, E[X]=r/\lambda; a equação acima é coerente com a relação entre média e parâmetros.

Passo 4

Derivada em relação a r e aparecimento da função digama:
  • Derivada de \ell em relação a r:
    • A derivada de n r\ln\lambda em r é n\ln\lambda.
    • A derivada de -n\ln\Gamma(r) em r é -n\,\psi(r), onde definimos a função digama \psi(r) como \psi(r)=\frac{d}{dr}\ln\Gamma(r)=\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}.(A função \Gamma(r) é a função gama; sua derivada aparece naturalmente ao derivar \ln\Gamma(r).)
    • A derivada de (r-1)\sum \ln x_i em r é \sum \ln x_i.
    • O termo -\lambda\sum x_i não depende de r (quando \lambda é tratado como independ.), mas lembrando que \lambda será substituído depois pela expressão em função de r. Primeiro escrevemos a condição geral.
  • Assim
\frac{\partial \ell}{\partial r} = n\ln\lambda - n\psi(r) + \sum_{i=1}^n \ln x_i.
Igualando a zero (condição de máximo):
n\ln\lambda + \sum_{i=1}^n \ln x_i = n\psi(r).
Esta é a equação não-linear que envolve \psi(r)=\Gamma'(r)/\Gamma(r).

Passo 5

Reescrevendo a equação de r de forma prática (substituindo \lambda) e preparando para métodos numéricos:
  • Podemos substituir \lambda=\dfrac{n r}{\sum x_i}=\dfrac{r}{\bar x} na equação para r. Fazendo isso obtemos uma única equação em r:
n\ln\!\left(\frac{r}{\bar x}\right) + \sum_{i=1}^n \ln x_i = n\psi(r).
  • Simplificando um pouco (dividindo por n e rearranjando):
\ln r - \psi(r) + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i - \ln\bar x = 0.
Esta é uma equação implícita para r. Não existe solução analítica fechada em termos de funções elementares porque \psi(r) (digama) não pode ser invertida por fórmulas simples.

Passo 6

Complicações na resolução e como resolvê-las na prática (aulas rápidas sobre métodos numéricos):
  • Por que é complicado:
    • A equação para r é não-linear e envolve a função digama \psi(r). Não há expressão fechada para r em termos dos dados.
    • Portanto, é necessário usar métodos numéricos para encontrar \widehat r.
  • Método numérico usual: Newton–Raphson (rápido e comum)
    • Definir a função a ser zerada: g(r)=\ln r - \psi(r) + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i - \ln\bar x.
    • Derivada necessária (para Newton): usar a trigama \psi'(r) (derivada da digama). A derivada de g é g'(r)=\frac{1}{r} - \psi'(r),onde \psi'(r) é a trigama (positiva para r>0).
    • Iteração de Newton: r^{(t+1)} = r^{(t)} - \frac{g(r^{(t)})}{g'(r^{(t)})} = r^{(t)} - \frac{\ln r^{(t)} - \psi(r^{(t)}) + \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i - \ln\bar x}{\dfrac{1}{r^{(t)}} - \psi'(r^{(t)})}.
    • Quando a iteração converge (critério: mudança pequena entre iterações), toma-se \widehat r\approx r^{(t)} e então \widehat\lambda=\dfrac{\widehat r}{\bar x}.
  • Inicialização (chute inicial): um bom chute acelera a convergência. Um estimador pelo método dos momentos dá uma inicialização prática:
    • Para a Gama, E[X]=r/\lambda e \operatorname{Var}(X)=r/\lambda^2.
    • Daí r pelo método dos momentos: \tilde r = \frac{\bar x^2}{s^2}, \qquad \tilde\lambda = \frac{\bar x}{s^2},onde s^2=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2 (ou a versão amostral com 1/(n-1), usado apenas como ponto de partida).
    • Usar \tilde r como r^{(0)} em Newton é comum.
  • Observações práticas:
    • A trigama \psi'(r) e a digama \psi(r) são funções bem implementadas em bibliotecas numéricas (R, Python/scipy, MATLAB).
    • Em amostras pequenas ou dados degenerados pode haver problemas de convergência; verificar limites e sinal de g'(r).
    • Alternativas ao Newton: métodos de busca unidimensional (bisseção), ou métodos híbridos se Newton falhar.

Passo 7

Resumo final das equações que os MLEs devem satisfazer (forma simples e direta):
  • A partir das equações normais obtemos:
\hat\lambda=\frac{n\,r}{\sum_{i=1}^n x_i}=\frac{r}{\bar x},
e
n\ln\lambda + \sum_{i=1}^n \ln x_i = n\,\psi(r), \qquad\text{onde }\psi(r)=\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}.
(Daqui resolve-se numericamente para r e em seguida obtém-se \hat\lambda.)

Resposta

\displaystyle \hat\lambda=\frac{n\,r}{\sum_{i=1}^n x_i}=\frac{r}{\bar x}
\displaystyle n\ln\lambda+\sum_{i=1}^n\ln x_i = n\,\psi(r)=n\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}

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