Obtenha as equações que têm de ser resolvidas para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetro r e \lambda. Quais as complicações envolvidas na resolução destas equações? (Resposta: \lambda=\frac{r}{x} e n \ln \lambda+\sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}=n \frac{\Gamma^{\prime}(r)}{\Gamma r}; métodos numéricos computacionais são requeridos.)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei implicitamente que há uma amostra iid de tamanho [n) com observações x_1,\dots,x_n):
Dado: a densidade de probabilidade de uma variável aleatória Gama, com parâmetros r>0 (forma) e \lambda>0 (taxa), é
Considera-se uma amostra iid \;X_1,\dots,X_n\]\; com realizações \(\;x_1,\dots,x_n>0.
O que pedir: obter as equações que os estimadores de máxima verossimilhança (MLE) \widehat r e \widehat\lambda devem satisfazer; e comentar as dificuldades na resolução destas equações.]
Passo 2
Escrevendo a função verossimilhança para a amostra (produto das densidades) e o log-verossimilhança:
Interpretando e simplificando esse resultado: escrevendo a média amostral
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
temos de forma mais intuitiva
\hat\lambda = \frac{r}{\bar x}.
Isto faz sentido porque, para a Gama, E[X]=r/\lambda; a equação acima é coerente com a relação entre média e parâmetros.
Passo 4
Derivada em relação a r e aparecimento da função digama:
Derivada de \ell em relação a r:
A derivada de n r\ln\lambda em r é n\ln\lambda.
A derivada de -n\ln\Gamma(r) em r é -n\,\psi(r), onde definimos a função digama \psi(r) como\psi(r)=\frac{d}{dr}\ln\Gamma(r)=\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}.(A função \Gamma(r) é a função gama; sua derivada aparece naturalmente ao derivar \ln\Gamma(r).)
A derivada de (r-1)\sum \ln x_i em r é \sum \ln x_i.
O termo -\lambda\sum x_i não depende de r (quando \lambda é tratado como independ.), mas lembrando que \lambda será substituído depois pela expressão em função de r. Primeiro escrevemos a condição geral.
Simplificando um pouco (dividindo por n e rearranjando):
\ln r - \psi(r) + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i - \ln\bar x = 0.
Esta é uma equação implícita para r. Não existe solução analítica fechada em termos de funções elementares porque \psi(r) (digama) não pode ser invertida por fórmulas simples.
Passo 6
Complicações na resolução e como resolvê-las na prática (aulas rápidas sobre métodos numéricos):
Por que é complicado:
A equação para r é não-linear e envolve a função digama \psi(r). Não há expressão fechada para r em termos dos dados.
Portanto, é necessário usar métodos numéricos para encontrar \widehat r.
Método numérico usual: Newton–Raphson (rápido e comum)
Definir a função a ser zerada:g(r)=\ln r - \psi(r) + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i - \ln\bar x.
Derivada necessária (para Newton): usar a trigama \psi'(r) (derivada da digama). A derivada de g ég'(r)=\frac{1}{r} - \psi'(r),onde \psi'(r) é a trigama (positiva para r>0).
Quando a iteração converge (critério: mudança pequena entre iterações), toma-se \widehat r\approx r^{(t)} e então \widehat\lambda=\dfrac{\widehat r}{\bar x}.
Inicialização (chute inicial): um bom chute acelera a convergência. Um estimador pelo método dos momentos dá uma inicialização prática:
Para a Gama, E[X]=r/\lambda e \operatorname{Var}(X)=r/\lambda^2.
Daí r pelo método dos momentos:\tilde r = \frac{\bar x^2}{s^2}, \qquad \tilde\lambda = \frac{\bar x}{s^2},onde s^2=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2 (ou a versão amostral com 1/(n-1), usado apenas como ponto de partida).
Usar \tilde r como r^{(0)} em Newton é comum.
Observações práticas:
A trigama \psi'(r) e a digama \psi(r) são funções bem implementadas em bibliotecas numéricas (R, Python/scipy, MATLAB).
Em amostras pequenas ou dados degenerados pode haver problemas de convergência; verificar limites e sinal de g'(r).
Alternativas ao Newton: métodos de busca unidimensional (bisseção), ou métodos híbridos se Newton falhar.
Passo 7
Resumo final das equações que os MLEs devem satisfazer (forma simples e direta):