Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1+i \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ -1-i & 0 & 0\end{array}\right).
(a) Encontre os autovalores e autovetores normalizados de A. Denote os autovetores de A por \left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle,\left|a_{3}\right\rangle. Algum autovalor degenerado?
(b) Mostre que os autovetores \left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle,\left|a_{3}\right\rangle formam uma base ortonormal e completa, isto é, mostre que \sum_{j=1}^{3}\left|a_{j}\right\rangle\left\langle a_{j}\right|=I, onde I é a matriz identidade 3 \times 3, e que \left\langle a_{j} \mid a_{k}\right\rangle=\delta_{j k}.
(c) Encontre a matriz correspondente ao operador obtido do produto ket-bra do primeiro autovetor P=\left|a_{1}\right\rangle\left\langle a_{1}\right| . P é um operador de projeção?
e pede:
(a) os autovalores e os autovetores normalizados de A, denotados por \left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle,\left|a_{3}\right\rangle. Verificar se há degenerescência de autovalores.
(b) mostrar que esses autovetores formam uma base ortonormal e completa, isto é, mostrar que \left\langle a_{j}\mid a_{k}\right\rangle=\delta_{jk} e que \sum_{j=1}^{3}\left|a_{j}\right\rangle\left\langle a_{j}\right|=I.
(c) calcular a matriz do operador P=\left|a_{1}\right\rangle\left\langle a_{1}\right| e decidir se P é um operador de projeção.
As informações relevantes: a matriz A é complexa 3\times3; nota-se que a segunda linha/coluna está praticamente desacoplada (apenas A_{22}=3), o que sugere um autovalor 3 com autovetor na direção do vetor canônico e_2. A solução começará resolvendo o polinômio característico e depois encontrando autovetores e normalizando-os.]
Passo 2
Encontrar os autovalores: escrever a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
Calcular \det(A-\lambda I). Como o segundo elemento da diagonal é 3, ao expandir pelo elemento central (ou notar bloco 2\times2 em posições 1,3) obtém-se
Das duas primeiras equações (ou pela compatibilidade), somando as duas we vemos que a única solução compatível é x_1=0,\;x_3=0 e x_2 livre. Assim um autovetor associado é o vetor canônico da segunda direção:
Calcular \left|\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}\right|^{2}=\dfrac{|{-1+i}|^{2}}{2}=\dfrac{(-1)^{2}+1^{2}}{2}=\dfrac{2}{2}=1. Então \|v^{(1)}\|^{2}=1+1=2, logo \|v^{(1)}\|=\sqrt{2}.
como mostrado nos cálculos. O terceiro termo vale 1/2. Assim \langle a_1\mid a_3\rangle=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
Os produtos \langle a_1\mid a_2\rangle e \langle a_3\mid a_2\rangle são claramente 0 porque a_2 tem apenas componente central não nula e a_1,a_3 têm a componente central 0.
Portanto \langle a_j\mid a_k\rangle=\delta_{jk}, i.e. os vetores são ortonormais.
Somando as três matrizes, as entradas fora da diagonal somam-se a zero (os termos complexos nas posições (1,3) se cancelam) e a diagonal fica \operatorname{diag}(1,1,1). Assim
\sum_{j=1}^{3}|a_j\rangle\langle a_j|=I_{3}.
Isto demonstra a completude da base ortonormal.]
Passo 8
Matriz do operador P=|a_1\rangle\langle a_1| e verificar se é projeção.
Já calculámos |a_1\rangle\langle a_1| acima; escrevendo de forma clara:
Mostrar que P é operador de projeção: para qualquer vetor normalizado |\psi\rangle vale (|\psi\rangle\langle\psi|)^{2}=|\psi\rangle\langle\psi|, porque
Também (|\psi\rangle\langle\psi|)^\dagger=|\psi\rangle\langle\psi| (é hermitiano). Como \langle a_1\mid a_1\rangle=1, no nosso caso P^{2}=P e P^\dagger=P. Logo P é um operador de projeção (projeção ortogonal no subespaço gerado por |a_1\rangle).]
Resposta
(a) Autovalores: \lambda_1=\sqrt{2},\\ \lambda_2=3,\\ \lambda_3=-\sqrt{2}.
Autovetores normalizados (escolhidos com as fases acima):