Considere a parábola de equação y^2=2 x-2 e a reta de equação y=x-5.
Encontre os pontos de interseção entre as curvas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem duas equações: uma parábola y^2=2x-2 e uma reta y=x-5. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde elas se cruzam. Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas de equações, substituição e resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação da reta para substituir o valor de y na equação da parábola. Como y = x - 5, podemos substituir y por x - 5 na primeira equação.

Passo 3

Substituindo na parábola, ficamos com:
(x - 5)^2 = 2x - 2
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação.

Passo 4

Expandindo (x - 5)^2, temos:
x^2 - 10x + 25 = 2x - 2
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero.

Passo 5

Subtraindo 2x e adicionando 2 em ambos os lados, ficamos com:
x^2 - 12x + 27 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de x.

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática x^2 - 12x + 27 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 12 pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 1 cdot 272 cdot 1
Calculando o discriminante:
De
Então:
x = 12 pm raiz362 = 12 pm 62
Isso nos dá duas soluções para x:
x = 182 = 9
x = 62 = 3

Passo 7

Agora que temos os valores de x, vamos encontrar os correspondentes valores de y usando a equação da reta y = x - 5.
Para x = 9:
y = 9 - 5 = 4
Para x = 3:
y = 3 - 5 = -2

Resposta

Os pontos de interseção entre as curvas são (9, 4) e (3, -2).

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