Considere a superfície definida pela equação
.
Encontre as interseções com os planos
e
.
Encontre as interseções com os planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície dada pela equação
e precisa descobrir onde essa superfície cruza os planos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar Geometria Analítica, que basicamente é a matemática que estuda figuras geométricas usando coordenadas e equações. O que vamos fazer é substituir a equação de cada plano na equação da superfície e ver o que acontece.
Passo 2
Vamos começar com o plano
. Isso significa que em qualquer ponto dessa interseção, o valor de
é zero. Então, substituímos
na equação da superfície:
Simplificando isso, fica:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano que usamos, que nesse caso é o plano
-
. Então, a interseção com o plano
é uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos para o plano
. Aqui, o valor de
é zero em todos os pontos dessa interseção. Substituindo
na equação da superfície:
Simplificando:
Se olharmos bem, isso dá:
Mas pera aí, a soma de dois quadrados (
) nunca pode ser negativa, já que quadrados sempre são iguais ou maiores que zero. Então, essa equação não tem solução real. Ou seja, não existe ponto real onde a superfície cruza o plano
.
Passo 4
Por último, vamos ver o plano
. Aqui,
é zero em todos os pontos da interseção. Substituindo
na equação da superfície:
Simplificando:
Essa também é a equação de uma hipérbole, mas agora no plano
-
. Então, a interseção com o plano
é uma hipérbole.
Resposta
As interseções da superfície
com os planos são:
- Com o plano
: A equação , que representa uma hipérbole no plano - . - Com o plano
: Não há interseção real. - Com o plano
: A equação , que representa uma hipérbole no plano - .