Considere a superfície definida pela equação -x^2+y^2-z^2=1.
Encontre as interseções com os planos x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície dada pela equação -x^2+y^2-z^2=1 e precisa descobrir onde essa superfície cruza os planos x=0, y=0 e z=0. Para resolver isso, vamos usar Geometria Analítica, que basicamente é a matemática que estuda figuras geométricas usando coordenadas e equações. O que vamos fazer é substituir a equação de cada plano na equação da superfície e ver o que acontece.

Passo 2

Vamos começar com o plano x=0. Isso significa que em qualquer ponto dessa interseção, o valor de x é zero. Então, substituímos x=0 na equação da superfície:
-0^2 + y^2 - z^2 = 1
Simplificando isso, fica:
y^2 - z^2 = 1
Essa é a equação de uma hipérbole no plano que usamos, que nesse caso é o plano y- z. Então, a interseção com o plano x=0 é uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos para o plano y=0. Aqui, o valor de y é zero em todos os pontos dessa interseção. Substituindo y=0 na equação da superfície:
- x^2 + 0^2 - z^2 = 1
Simplificando:
- x^2 - z^2 = 1
Se olharmos bem, isso dá:
x^2 + z^2 = -1
Mas pera aí, a soma de dois quadrados ( x^2 + z^2) nunca pode ser negativa, já que quadrados sempre são iguais ou maiores que zero. Então, essa equação não tem solução real. Ou seja, não existe ponto real onde a superfície cruza o plano y=0.

Passo 4

Por último, vamos ver o plano z=0. Aqui, z é zero em todos os pontos da interseção. Substituindo z=0 na equação da superfície:
- x^2 + y^2 - 0^2 = 1
Simplificando:
- x^2 + y^2 = 1
Essa também é a equação de uma hipérbole, mas agora no plano x- y. Então, a interseção com o plano z=0 é uma hipérbole.

Resposta

As interseções da superfície -x^2+y^2-z^2=1 com os planos são:
  • Com o plano x=0: A equação y^2 - z^2 = 1, que representa uma hipérbole no plano y- z.
  • Com o plano y=0: Não há interseção real.
  • Com o plano z=0: A equação -x^2 + y^2 = 1, que representa uma hipérbole no plano x- y.

Exercícios relacionados