Considere uma estrutura periódica, unidimensional, com dois tipos diferentes de átomos alternadamente colocados ao longo da mesma e equidistantes entre si. A rede é de Bravais? Identifique a célula primitiva, os vectores primitivos, e os vectores da rede recíproca.

Passo 1

O enunciado descreve uma cadeia unidimensional infinita em que os átomos A e B aparecem alternadamente e com espaçamento constante d entre vizinhos. Queremos saber se isso constitui uma rede de Bravais, e em caso afirmativo identificar a célula primitiva (com sua base), os vetores primitivos diretos e os vetores da rede recíproca. O conteúdo envolve cristalografia unidimensional: conceito de rede de Bravais, célula primitiva com base e construção da rede recíproca.

Passo 2

Para ser rede de Bravais, basta existir um vetor de translação \mathbf{R} tal que, ao deslocar toda a rede por \mathbf{R}, cada átomo encontre outro átomo do mesmo tipo na mesma disposição local. Se tomássemos \mathbf{R}=d\,\hat x, um átomo A cairia na posição de um B, e vice-versa, de modo que não haveria equivalência dos ambientes. Por outro lado, para \mathbf{R}=2d\,\hat x, cada átomo A coincide com outro átomo A e cada átomo B coincide com outro B, preservando o arranjo. Logo, definimos a rede de Bravais unidimensional com constante de rede
a = 2d\,.

Passo 3

A célula primitiva é o intervalo de comprimento a=2d ao longo de \hat x, contendo dois átomos como base (basis): um em \tau_1=0 e outro em \tau_2=d. O vetor primitivo direto é
\mathbf{a}_1 = a\,\hat x = 2d\,\hat x\,.

Passo 4

O vetor primitivo da rede recíproca \mathbf{b}_1 deve satisfazer
\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{b}_1 = 2\pi\,.
Como \mathbf{a}_1=2d\,\hat x, segue
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{2d}\,\hat x = \frac{\pi}{d}\,\hat x\,.
Portanto, os vetores gerais da rede recíproca são
\mathbf{G}_n = n\,\mathbf{b}_1 = n\,\frac{\pi}{d}\,\hat x,\quad n\in\mathbb{Z}\,.

Resposta

A cadeia pode ser descrita como uma rede de Bravais unidimensional de constante a=2d com célula primitiva de comprimento 2d e base em \tau_1=0, \tau_2=d. O vetor primitivo direto é
\mathbf{a}_1=2d\,\hat x\,,
e o vetor primitivo recíproco é
\mathbf{b}_1=\frac{\pi}{d}\,\hat x\,,
de modo que
\mathbf{G}_n=n\,\frac{\pi}{d}\,\hat x\\ (n\in\mathbb{Z}).

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