Considere um estudo de qualidade feito para investigar a vida útil de lâmpadas produzidas em uma fábrica. Foram aferidos o tempo de vida (em horas) de n=8 lâmpadas, e os resultados foram:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
372 310 62 82 14 66 646 19
a. Calcule a média amostral barX da vida útil das lâmpadas.
b. Calcule a variância amostral S^2.
c. Calcule o desvio padrão amostral S.

Passo 1

Fala aí! O exercício tem três partes: calcular a média amostral, a variância amostral e o desvio padrão amostral da vida útil das lâmpadas. Vamos usar conceitos básicos de estatística, como média, variância e desvio padrão, para entender melhor os dados fornecidos.

Passo 2

Parte a: Para encontrar a média amostral barX, precisamos somar todos os tempos de vida das 8 lâmpadas e dividir pelo número total de lâmpadas.
Parte b: Para calcular a variância amostral S^2, vamos medir o quanto cada tempo difere da média, elevar essa diferença ao quadrado, somar tudo e dividir pelo número de lâmpadas menos um.
Parte c: O desvio padrão amostral S é simplesmente a raiz quadrada da variância, trazendo a unidade de volta para horas.

Passo 3

Parte a: Calculando a média amostral barX
Primeiro, somamos todos os tempos de vida das lâmpadas:
372 + 310 + 62 + 82 + 14 + 66 + 646 + 19 = 1571
Agora, dividimos esse total pelo número de lâmpadas, que é 8:
barX = 15718 = 196,375 horas

Passo 4

Parte b: Calculando a variância amostral S^2
Primeiro, encontramos a diferença de cada valor em relação à média e depois elevamos essa diferença ao quadrado:
(Xi - barX)^2
Vamos calcular para cada lâmpada:
  1. (372 - 196,375)^2 = (175,625)^2 = 30.880,39
  2. (310 - 196,375)^2 = (113,625)^2 = 12.900,89
  3. (62 - 196,375)^2 = (-134,375)^2 = 18.066,14
  4. (82 - 196,375)^2 = (-114,375)^2 = 13.089,14
  5. (14 - 196,375)^2 = (-182,375)^2 = 33.300,14
  6. (66 - 196,375)^2 = (-130,375)^2 = 16.959,14
  7. (646 - 196,375)^2 = (449,625)^2 = 201.849,14
  8. (19 - 196,375)^2 = (-177,375)^2 = 31.409,14
Agora, somamos todos esses valores:
30.880,39 + 12.900,89 + 18.066,14 + 13.089,14 + 33.300,14 + 16.959,14 + 201.849,14 + 31.409,14 = 358.453,11
Dividimos esse total pelo número de lâmpadas menos um, que é 7:
S^2 = 358.453,117 approx 51.207,59 horas^2

Passo 5

Parte c: Calculando o desvio padrão amostral S
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
S = raiz51.207,59 approx 226,30 horas

Resposta

a. A média amostral barX da vida útil das lâmpadas é 196,375 horas.
b. A variância amostral S^2 é 51.207,59 horas².
c. O desvio padrão amostral S é aproximadamente 226,30 horas.

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