(3,0 pontos) Em um artigo publicado na Revista Brasileira de Administração Científica, de acordo com o censo do INEP de 2020, foi observado que, para os discentes matriculados no curso de Engenharia Civil, no Campus Sertão, da Universidade Federal de Alagoas, com relação à cor/raça, os alunos pretos e pardos representavam juntos, aproximadamente 54 %. Suponha que hoje, com 766 discentes, considerando ingressos e egressos desde o censo, pretende-se fazer um estudo relacionado a essa variável, e o acesso aos registros da população não seja possível. Assim, deseja-se coletar apenas uma amostra. Com confiabilidade de 90 %, qual deve ser o tamanho da amostra, de modo que o erro amostral tolerado seja de 5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um total de 766 alunos no curso de Engenharia Civil na Universidade Federal de Alagoas. Sabemos que aproximadamente 54% deles são pretos e pardos. A missão aqui é descobrir quantos alunos a gente precisa selecionar em uma amostra para estudar essa proporção com 90% de confiança e um erro de 5%. Ou seja, queremos ter certeza de que nossa amostra está representando bem os 54%, sem que o erro seja maior que 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o tamanho da amostra, usamos uma fórmula que leva em conta o nível de confiança, a margem de erro e a proporção da característica que estamos estudando. A fórmula básica é:
n = Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2
Onde:
  • é o tamanho da amostra
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança
  • é a proporção da população que tem a característica de interesse (neste caso, 54% ou 0,54)
  • é a margem de erro (5% ou 0,05)

Passo 3

Vamos encontrar o valor de para um nível de confiança de 90%. O valor de que corresponde a 90% de confiança é aproximadamente 1,645. Esse valor nos diz quantos desvios padrão estamos considerando para garantir a confiança desejada.

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula:
n = (1,645)^2 cdot 0,54 cdot (1 - 0,54)(0,05)^2
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular 1,645 times 1,645 approx 2,706 :
0,54 times 0,46 = 0,2484
  1. Calcular 0,05 times 0,05 = 0,0025 :
  1. Calcular :

Passo 5

Agora, multiplicamos os resultados:
n = 2,706 times 0,24840,0025
Primeiro, multiplicamos 2,706 por 0,2484:
2,706 times 0,2484 approx 0,6724
Depois, dividimos por 0,0025:
0,67240,0025 approx 268,96

Passo 6

Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
n approx 269

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 269 alunos para garantir 90% de confiança com um erro de 5%.

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