(2,0 pontos) Em um artigo publicado na Revista Brasileira de Administração Científica, de acordo com o censo do INEP de 2020, foi observado que, para os 646 discentes matriculados no curso de Engenharia Civil, no Campus Sertão, da Universidade Federal de Alagoas, a média da idade de ingresso é 21,60 anos e desvio padrão 5,33 anos. Selecionando uma amostra de 40 discentes, sem reposição, qual a probabilidade da média das idades dos ingressantes, ser inferior ao esperado e superior a 19,96 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma população de 646 estudantes de Engenharia Civil na Universidade Federal de Alagoas, com uma idade média de ingresso de 21,60 anos e um desvio padrão de 5,33 anos. A gente vai tirar uma amostra de 40 estudantes sem reposição e queremos saber qual a probabilidade da média das idades dessa amostra ser menor que o esperado (21,60 anos) e maior que 19,96 anos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Probabilidade e Estatística, especificamente a distribuição amostral da média. Vamos calcular o erro padrão da média e usar a distribuição normal para encontrar essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Erro Padrão da Média (EPM). O EPM nos dá uma ideia de quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula para o EPM é:
EPM = sigmaraizn times raizN - nN - 1
Onde:
  • 0,843 times 0,969 approx 0,817 é o desvio padrão da população (5,33 anos)
  • é o tamanho da amostra (40)
  • é o tamanho da população (646)
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, .
Agora, a correção para população finita: .
Então, o EPM é aproximadamente:

Passo 3

Agora que temos o EPM, podemos usar a Distribuição Normal para encontrar a probabilidade desejada. Queremos encontrar a probabilidade de a média da amostra estar entre 19,96 e 21,60 anos.
Primeiro, calculamos o escore z para cada valor:
z = X - muEPM
Onde:
  • z1 = 19,96 - 21,600,817 approx -1,640,817 approx -2,01 é o valor da média da amostra
  • z2 = 21,60 - 21,600,817 = 0 é a média da população (21,60 anos)
Para :
Para :

Passo 4

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
  • Para P(19,96 < barX < 21,60) = P(z < 0) - P(z < -2,01) = 0,5 - 0,0222 = 0,4778 , a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,0222.
  • Para , a probabilidade acumulada é 0,5.
Para encontrar a probabilidade de estar entre esses valores, subtraímos as probabilidades:

Resposta

A probabilidade de a média das idades dos ingressantes na amostra ser inferior a 21,60 anos e superior a 19,96 anos é aproximadamente 47,78%.

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