Considere o evento que consiste no lançamento de dois dados honestos. Crie 3 diferentes variáveis aleatórias sobre este experimento e obtenha a distribuição de probabilidade de cada uma destas variáveis aleatórias.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre lançar dois dados justos. A gente vai trabalhar com variáveis aleatórias, que são basicamente funções que atribuem números aos resultados de um experimento aleatório, como os números que saem nos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir essas variáveis e calcular suas distribuições de probabilidade, que mostram a chance de cada valor ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa amostra. Quando lançamos dois dados, cada dado pode sair com um número de 1 a 6. Então, temos 6 × 6 = 36 possíveis resultados diferentes.
Passo 3
Agora, vamos criar a primeira variável aleatória. Vamos chamar ela de $ X $, que representa a soma dos números que saem nos dois dados. Por exemplo, se o primeiro dado mostra 2 e o segundo mostra 3, então $ X = 2 + 3 = 5 $.
Passo 4
Para encontrar a distribuição de $ X $, precisamos contar quantas maneiras cada soma pode acontecer:
- Soma 2: (1,1) → 1 jeito
- Soma 3: (1,2), (2,1) → 2 jeitos
- Soma 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 jeitos
- Soma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 jeitos
- Soma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 jeitos
- Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 jeitos
- Soma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 jeitos
- Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 jeitos
- Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 jeitos
- Soma 11: (5,6), (6,5) → 2 jeitos
- Soma 12: (6,6) → 1 jeito
Então, a distribuição de $ X $ fica assim:
Passo 5
Agora, vamos criar a segunda variável aleatória. Vamos chamar ela de $ Y $, que representa a diferença entre os números dos dois dados. A diferença sempre será um número positivo ou zero.
Vamos calcular as possibilidades:
- Diferença 0: (1,1), (2,2), …, (6,6) → 6 jeitos
- Diferença 1: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), …, (5,6), (6,5) → 10 jeitos
- Diferença 2: (1,3), (3,1), (2,4), (4,2), …, (4,6), (6,4) → 8 jeitos
- Diferença 3: (1,4), (4,1), (2,5), (5,2), …, (3,6), (6,3) → 6 jeitos
- Diferença 4: (1,5), (5,1), (2,6), (6,2) → 4 jeitos
- Diferença 5: (1,6), (6,1) → 2 jeitos
Então, a distribuição de $ Y $ fica assim:
Passo 6
Vamos criar a terceira variável aleatória. Vamos chamar ela de $ Z $, que representa o produto dos números dos dois dados. Por exemplo, se obtivermos 2 e 3, então $ Z = 2 \times 3 = 6 $.
Para encontrar a distribuição de $ Z $, precisamos listar todas as possíveis multiplicações e contar as ocorrências:
Por simplicidade, vamos listar os produtos possíveis e quantas vezes eles aparecem:
- 1: (1,1) → 1 jeito
- 2: (1,2), (2,1) → 2 jeitos
- 3: (1,3), (3,1) → 2 jeitos
- 4: (1,4), (2,2), (4,1) → 3 jeitos
- 5: (1,5), (5,1) → 2 jeitos
- 6: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) → 4 jeitos
- 8: (2,4), (4,2) → 2 jeitos
- 9: (3,3) → 1 jeito
- 10: (2,5), (5,2) → 2 jeitos
- 12: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) → 4 jeitos
- 15: (3,5), (5,3) → 2 jeitos
- 16: (4,4) → 1 jeito
- 18: (3,6), (6,3) → 2 jeitos
- 20: (4,5), (5,4) → 2 jeitos
- 24: (4,6), (6,4) → 2 jeitos
- 25: (5,5) → 1 jeito
- 30: (5,6), (6,5) → 2 jeitos
- 36: (6,6) → 1 jeito
Então, a distribuição de $ Z $ fica assim:
Resposta
Criamos as três variáveis aleatórias $ X $ (soma), $ Y $ (diferença) e $ Z $ (produto) com suas respectivas distribuições de probabilidade conforme mostrado acima.