Considere um evento P no referencial S com coordenadas (c t, x, y, z), com c a velocidade da luz. Notar que a componente c t tem as mesmas unidades que (x, y, z).
  • (a) Escrever a transformação de Lorentz (TL) que permite obter as coordenadas ( c t^prime, x^prime, y^prime, z^prime ) do mesmo evento P no referencial S^prime, o qual tem uma velocidade relativa com respeito ao S dada por v=0. Escrever a transformação na forma matricial.
  • (b) Mostrar que para 4 times 4 a TL é representada pela matriz identidade de S^prime.
  • © Utilizando a forma matricial da transformação, calcular a TL inversa entre os referencias S e S do item (a).
  • (d) Utilizando a forma matricial, mostrar que duas transformações sucessivas, desde S^prime para v com velocidade relativa S^prime e desde S^prime prime para u com velocidade relativa S, geram uma TL desde S^prime prime para w com velocidade relativa w. Encontrar u em termos de v e e interpretar.

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com a transformação de Lorentz de um evento P cujas coordenadas em S são (ct,x,y,z), usando c t na mesma unidade de x,y,z, e fazer: (a) a TL matricial para um boost genérico de velocidade vec v=(vx,vy,vz); (b) checar que, se vec v=0, a TL vira a matriz identidade 4×4; © obter a inversa da TL matricial de (a); (d) mostrar que duas TL sucessivas com velocidades vec v e vec u equivalem a uma só TL com velocidade resultante vec w e achar vec w(vec u,vec v). Conteúdo: relatividade restrita, 4-vetores e invariância do intervalo. Vamos precisar do fator de Lorentz gamma=1/raiz1-beta^2 com vecbeta=vec v/c.

Passo 2

Para montar a TL geral (parte a) lembramos que ela deve preservar o produto de Minkowski e ser linear. Definimos betai=vi/c e beta^2=betax^2+betay^2+betaz^2 e gamma=1/raiz1-beta^2. Assim, a matriz 4×4 que leva (ct,x,y,z) em S em (ct',x',y',z') em S’ é
Lambda= gamma & -gammabetax & -gammabetay & -gammabetaz -gammabetax & 1+(gamma-1)betax^2beta^2 & (gamma-1)betaxbetaybeta^2 & (gamma-1)betaxbetazbeta^2 -gammabetay & (gamma-1)betaybetaxbeta^2 & 1+(gamma-1)betay^2beta^2 & (gamma-1)betaybetazbeta^2 -gammabetaz & (gamma-1)betazbetaxbeta^2 & (gamma-1)betazbetaybeta^2 & 1+(gamma-1)betaz^2beta^2

Passo 3

Para (b), basta colocar betax=betay=betaz=0 na matriz acima. Então beta^2=0 e gamma=1, e todos os termos off-diagonais viram zero enquanto os diagonais viram 1. Logo Lambda=I4times4, como queríamos.

Passo 4

Para ©, usamos que as transformações de Lorentz formam um grupo e a inversa de um boost de vec v é o boost com -vec v. Ou seja,
Lambda^-1(vec v)=Lambda(-vec v),, o que inverte o sinal de todos os betai nos elementos off-diagonais, mantendo gamma igual. Explicitamente,
Lambda^-1= gamma & +gammabetax & +gammabetay & +gammabetaz +gammabetax & 1+(gamma-1)betax^2beta^2 & (gamma-1)betaxbetaybeta^2 & (gamma-1)betaxbetazbeta^2 +gammabetay & (gamma-1)betaybetaxbeta^2 & 1+(gamma-1)betay^2beta^2 & (gamma-1)betaybetazbeta^2 +gammabetaz & (gamma-1)betazbetaxbeta^2 & (gamma-1)betazbetaybeta^2 & 1+(gamma-1)betaz^2beta^2

Passo 5

Para (d), consideramos duas TL sucessivas: primeiro Lambda(vec v) e depois Lambda(vec u). A composição é
Lambda(vec u),Lambda(vec v)=Lambda(vec w),, o que implica que existe uma vec w tal que a combinação seja outro boost. Calculando a parte espacial e temporal e igualando aos elementos padrão de um boost, chegamos à fórmula de soma de velocidades em SR:
vec w=11+vec ucdotvec vc^2(vec vgammau+vec u+gammaugammau+1vec ucdotvec vc^2,vec u), Na prática, isso mostra que velocidades em relatividade não se somam de forma vetorial usual e garantem que |vec w|.

Resposta

A velocidade resultante da composição de dois boosts de velocidades vec v e vec u é
$$\vec w=\frac{1}{1+\frac{\vec u\cdot\vec v}{c^2}}\left(\frac{\vec v}{\gamma_u}+\vec u+\frac{\gamma_u}{\gamma_u+1}\frac{\vec u\cdot\vec v}{c^2},\vec u\right),
$$
o que garante a regra de adição de velocidades em relatividade restrita e mantém vec w=11+vec ucdotvec vc^2(vec vgammau+vec u+gammaugammau+1vec ucdotvec vc^2,vec u),, .

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