Considere um evento no referencial com coordenadas , a velocidade da luz. Notar que a componente tem as mesmas unidades que .
(a) Escrever a transformação de Lorentz (TL) que permite obter as coordenadas ( ) do mesmo evento no referencial , o qual tem uma velocidade relativa com respeito ao dada por . Escrever a transformação na forma matricial.
(b) Mostrar que para a TL é representada pela matriz identidade de .
(d) Utilizando a forma matricial, mostrar que duas transformações sucessivas, desde para com velocidade relativa e desde para com velocidade relativa , geram uma TL desde para com velocidade relativa . Encontrar em termos de e e interpretar.
Para montar a TL geral (parte a) lembramos que ela deve preservar o produto de Minkowski e ser linear. Definimos e e . Assim, a matriz 4×4 que leva em S em em S’ é
Passo 3
Para (b), basta colocar betax=betay=betaz=0 na matriz acima. Então beta^2=0 e gamma=1, e todos os termos off-diagonais viram zero enquanto os diagonais viram 1. Logo Lambda=I4times4, como queríamos.
Para (d), consideramos duas TL sucessivas: primeiro Lambda(vec v) e depois Lambda(vec u). A composição é
Lambda(vec u),Lambda(vec v)=Lambda(vec w),, o que implica que existe uma vec w tal que a combinação seja outro boost. Calculando a parte espacial e temporal e igualando aos elementos padrão de um boost, chegamos à fórmula de soma de velocidades em SR:
vec w=11+vec ucdotvec vc^2(vec vgammau+vec u+gammaugammau+1vec ucdotvec vc^2,vec u), Na prática, isso mostra que velocidades em relatividade não se somam de forma vetorial usual e garantem que |vec w|.
Resposta
A velocidade resultante da composição de dois boosts de velocidades vec v e vec u é
$$
o que garante a regra de adição de velocidades em relatividade restrita e mantém vec w=11+vec ucdotvec vc^2(vec vgammau+vec u+gammaugammau+1vec ucdotvec vc^2,vec u),, .