Considere o triângulo isósceles formado por três barras de comprimentos la=lb e lc medidos em repouso no referencial S. Por simplicidade considere que a barra lc seja paralela ao eixo x. Calcule a velocidade do referencial S^prime tal que naquele referencial o triângulo é observado como um triângulo equilátero.

Passo 1

A questão considera um triângulo isósceles de barras com comprimentos de repouso la = lb e lc no referencial S, sendo lc paralelo a x. Queremos o valor de v de um referencial S' em que esse triângulo pareça equilátero. O conteúdo envolvido é contração de comprimento em Relatividade Restrita e decomposição de vetores em componentes paralelas e perpendiculares ao movimento.

Passo 2

Precisamos conhecer o ângulo beta que as barras iguais formam com a base lc. Pela lei dos cossenos no triângulo isósceles, o ângulo na base satisfaz cosbeta=dfraclc2,la e sinbeta=raiz1-dfraclc^24,la^2.

Passo 3

No referencial S', apenas a componente paralela a x sofre contração de Lorentz, de modo que uma barra de repouso L0 orientada a um ângulo theta terá comprimento observado
$$
L’=\sqrt{(L_0\sin\theta)2+\Bigl(\frac{L_0\cos\theta}{\gamma}\Bigr)2}\n$$
com L'=raiz(L0sintheta)^2+l(L0costhetagammar)^2n.

Passo 4

Para a base lc, que é paralela a x, vale simplesmente
$$
L’_c=\frac{l_c}{\gamma}\n L'c=lcgammanâ
L’_a=l_a\sqrt{\sin2\beta+\frac{\cos2\beta}{\gamma^2}}\n$$

Passo 5

Exigindo que o triângulo pareça equilátero em S', igualamos L'a=L'c, e obtemos após manipulação algébrica
1gamma^2=4,la^2-lc^23,lc^2
que leva a
v^2= c^2,4,(lc^2-la^2)3,lc^2

Resposta

A velocidade exigida é
v=2craiz3,raiz1-la^2lc^2, no sentido de contração ao longo de lc.

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