Considere o triângulo isósceles formado por três barras de comprimentos
e
medidos em repouso no referencial
. Por simplicidade considere que a barra
seja paralela ao eixo
. Calcule a velocidade do referencial
tal que naquele referencial o triângulo é observado como um triângulo equilátero.
Passo 1
A questão considera um triângulo isósceles de barras com comprimentos de repouso
e
no referencial
, sendo
paralelo a
. Queremos o valor de
de um referencial
em que esse triângulo pareça equilátero. O conteúdo envolvido é contração de comprimento em Relatividade Restrita e decomposição de vetores em componentes paralelas e perpendiculares ao movimento.
Passo 2
Precisamos conhecer o ângulo
que as barras iguais formam com a base
. Pela lei dos cossenos no triângulo isósceles, o ângulo na base satisfaz
e
.
Passo 3
No referencial
, apenas a componente paralela a
sofre contração de Lorentz, de modo que uma barra de repouso
orientada a um ângulo
terá comprimento observado
$$
L’=\sqrt{(L_0\sin\theta)2+\Bigl(\frac{L_0\cos\theta}{\gamma}\Bigr)2}\n$$
com .
com
Passo 4
Para a base
, que é paralela a
, vale simplesmente
$$
L’_c=\frac{l_c}{\gamma}\n
L’_a=l_a\sqrt{\sin2\beta+\frac{\cos2\beta}{\gamma^2}}\n$$
Passo 5
Exigindo que o triângulo pareça equilátero em
, igualamos
, e obtemos após manipulação algébrica
que leva a
Resposta
A velocidade exigida é