Partindo da definição clássica de momento angular
L=r times p,
(a) obtenha a versão quântica (escrita em termos das componentes retangulares)
Lx & =-i hbar(y partialpartial z-z partialpartial y) Ly & =-i hbar(z partialpartial x-x partialpartial z) Lz & =-i hbar(x partialpartial y-y partialpartial x)
(b) Use as expressões para a transformação de coordenadas de retangulares para esféricas
& x=r sin theta cos varphi & y=r sin theta sin varphi & z=r cos theta
e obtenha as componentes do momento angular nestas novas coordenadas:
& Lx=i hbar(sin varphi partialpartial theta+cotg theta cos varphi partialpartial varphi) & Ly=i hbar(-cos varphi partialpartial theta+cotg theta sin varphi partialpartial varphi) & Lz=-i hbar partialpartial varphi

Passo 1

Vamos começar lembrando do enunciado e do que queremos: a gente parte da definição clássica vec L = vec r times vec p, quantiza a coisa trocando vec p pelo operador -ihbarnabla e, primeiro, escreve as componentes de vec L em coordenadas cartesianas. Depois, usando a transformação para coordenadas esféricas x = rsinthetacosvarphi, etc., vamos reescrever essas componentes no sistema (r,theta,varphi).

Passo 2

Na mecânica quântica, fazemos a regra de correspondência pjto -ihbarpartial/partial xj. Logo, o operador momento angular fica
vec L = vec r times vec p ;longrightarrow; -ihbar,(vec r times nabla)
Da definição de produto vetorial, cada componente é
Lx = y pz - z py, Ly = z px - x pz, Lz = x py - y px

Passo 3

Agora é só substituir pj = -ihbar,partial/partial xj. Por exemplo,
Lx = yl(-ihbartfracpartialpartial zr) - zl(-ihbartfracpartialpartial yr) = -ihbarl(ytfracpartialpartial z-ztfracpartialpartial yr)
Fazendo o mesmo para as outras duas componentes, obtemos
Ly = -ihbarl(ztfracpartialpartial x-xtfracpartialpartial zr), Lz = -ihbarl(xtfracpartialpartial y-ytfracpartialpartial xr)

Passo 4

Para mudar para coordenadas esféricas, usamos
x = rsinthetacosvarphi, y = rsinthetasinvarphi, z = rcostheta,
e expressamos partial/partial x, partial/partial y e partial/partial z em função de partial/partial r, partial/partialtheta e partial/partialvarphi. Um atalho muito comum é notar que:
  • Para Lz, como varphi = arctan(y/x), a conta dá direto
Lz = -ihbarpartialpartialvarphi

Passo 5

Para Lx e Ly, substituímos no resultado em cartesianas as expressões de x,y,z e usamos a regra da cadeia. Depois de algum trabalho de derivadas, chega-se a

Passo 6

Pronto! Conseguimos em cartesianas e esféricas.

Resposta

As componentes do operador momento angular são:
Em coordenadas cartesianas:
Lx = -ihbarl(ytfracpartialpartial z-ztfracpartialpartial yr), Ly = -ihbarl(ztfracpartialpartial x-xtfracpartialpartial zr), Lz = -ihbarl(xtfracpartialpartial y-ytfracpartialpartial xr)
Em coordenadas esféricas:
Lx = ihbarl(sinvarphi,partialpartialtheta+cotgtheta,cosvarphi,partialpartialvarphir),

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