Partindo da definição clássica de momento angular
(a) obtenha a versão quântica (escrita em termos das componentes retangulares)
(b) Use as expressões para a transformação de coordenadas de retangulares para esféricas
e obtenha as componentes do momento angular nestas novas coordenadas:
Passo 1
Vamos começar lembrando do enunciado e do que queremos: a gente parte da definição clássica
, quantiza a coisa trocando
pelo operador
e, primeiro, escreve as componentes de
em coordenadas cartesianas. Depois, usando a transformação para coordenadas esféricas
, etc., vamos reescrever essas componentes no sistema
.
Passo 2
Na mecânica quântica, fazemos a regra de correspondência
. Logo, o operador momento angular fica
Da definição de produto vetorial, cada componente é
Passo 3
Agora é só substituir
. Por exemplo,
Fazendo o mesmo para as outras duas componentes, obtemos
Passo 4
Para mudar para coordenadas esféricas, usamos
e expressamos
,
e
em função de
,
e
. Um atalho muito comum é notar que:
- Para
, como , a conta dá direto
Passo 5
Para
e
, substituímos no resultado em cartesianas as expressões de
e usamos a regra da cadeia. Depois de algum trabalho de derivadas, chega-se a
Passo 6
Pronto! Conseguimos em cartesianas e esféricas.
Resposta
As componentes do operador momento angular são:
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas esféricas: