Note que podemos definir os vetores
e
e a matriz
tal que a TL do ponto (a) do exercício anterior pode escrever-se da forma
com
, onde os índices repetidos (um acima e outro embaixo) representam uma soma de 0 ate 3. Para
o primeiro índice
é a linha e o segundo
a coluna. Também podemos escrever a TL inversa como
. Daqui em frente vamos esquecer o argumento
na expressão da TL.
- (a) Mostrar que a definição da TL inversa é consistente, i.e. verificar que
com
as componentes da matriz identidade de
.
- (b) Utilizando a notação com índices, escrever a TL composta do ponto (d) do exercício anterior.
Passo 1
O enunciado pede, em (a), para verificar a consistência da definição da TL inversa na notação de índices, e em (b) escrever em notação de índices a transformação de Lorentz obtida pela composição de duas TLs vistas no ponto (d) do exercício anterior. O conteúdo envolve matrizes de TL, notação de índices e propriedade de inversa de matrizes.
Passo 2
Lembrando da teoria de matrizes, a inversa de uma matriz
satisfaz
. Em notação de índices isso vira
, com soma em
.
Aplicando isso para , temos diretamente
Aplicando isso para
que é exatamente a identidade de dimensão 4, mostrando a consistência da TL inversa.
Passo 3
Para compor duas TLs sequenciais (digamos primeiro com velocidade
e depois com
), usamos que aplicar duas transformações corresponde a multiplicar suas matrizes: se
e
, então
Passo 4
Daí a matriz da TL composta é dada em notação de índices por
Resposta
(a)
(b) A TL composta de duas transformações com velocidades
e
em notação de índices é