Note que podemos definir os vetores w=(c t, x, y, z) e Lambda(v) e a matriz w^mu=Lambda^mu nu(v) w^nu tal que a TL do ponto (a) do exercício anterior pode escrever-se da forma mu, nu=0,1,2,3 com Lambda^mu nu, onde os índices repetidos (um acima e outro embaixo) representam uma soma de 0 ate 3. Para (mu) o primeiro índice (nu) é a linha e o segundo w^mu= a coluna. Também podemos escrever a TL inversa como v de. Daqui em frente vamos esquecer o argumento 4 times 4 na expressão da TL.
  • (a) Mostrar que a definição da TL inversa é consistente, i.e. verificar que com as componentes da matriz identidade de .
  • (b) Utilizando a notação com índices, escrever a TL composta do ponto (d) do exercício anterior.

Passo 1

O enunciado pede, em (a), para verificar a consistência da definição da TL inversa na notação de índices, e em (b) escrever em notação de índices a transformação de Lorentz obtida pela composição de duas TLs vistas no ponto (d) do exercício anterior. O conteúdo envolve matrizes de TL, notação de índices e propriedade de inversa de matrizes.

Passo 2

Lembrando da teoria de matrizes, a inversa de uma matriz M satisfaz M^-1M=1𝟙. Em notação de índices isso vira (M^-1)^munuM^nurho=de, com soma em nu.
Aplicando isso para M=Lambda, temos diretamente
(Lambda^-1)^munu,Lambda^nurho=de
que é exatamente a identidade de dimensão 4, mostrando a consistência da TL inversa.

Passo 3

Para compor duas TLs sequenciais (digamos primeiro com velocidade vec v e depois com vec u), usamos que aplicar duas transformações corresponde a multiplicar suas matrizes: se
w'=Lambda(vec v),w e w''=Lambda(vec u),w', então
w''^mu=Lambda^munu(vec u),w'^nu =Lambda^munu(vec u),Lambda^nurho(vec v),w^rho

Passo 4

Daí a matriz da TL composta é dada em notação de índices por
(Lambdarm comp)^murho=Lambda^munu(vec u),Lambda^nurho(vec v)

Resposta

(a) (Lambda^-1)^munu,Lambda^nurho=de
(b) A TL composta de duas transformações com velocidades vec v e vec u em notação de índices é
(Lambdarm comp)^murho=Lambda^munu(vec u),Lambda^nurho(vec v)

Exercícios relacionados