Considere f(x, y)=\exp (x+2 y) \cdot \cos (x-y). (a) Encontre a linearização L(x, y) em ( 0,0 ). (b) Use L para aproximar f(0,04,-0,01).

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x,y)=\exp(x+2y)\cos(x-y) em (0,0) e, em seguida, usar essa linearização para aproximar f(0,04,-0,01). O conteúdo necessário é o cálculo de derivadas parciais e a fórmula da linearização.

Passo 2

Calcular f(0,0) e as derivadas parciais em (0,0).
f(x,y)=e^{\,x+2y}\cos(x-y).
f(0,0)=e^{0}\cos(0)=1\cdot1=1.
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x+2y}\cos(x-y)\bigr) =e^{x+2y}\cos(x-y)-e^{x+2y}\sin(x-y) =e^{x+2y}\bigl[\cos(x-y)-\sin(x-y)\bigr],
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f_x(0,0)=1\cdot\bigl[1-0\bigr]=1.
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x+2y}\cos(x-y)\bigr) =2e^{x+2y}\cos(x-y)+e^{x+2y}\sin(x-y) =e^{x+2y}\bigl[2\cos(x-y)+\sin(x-y)\bigr],
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f_y(0,0)=1\cdot\bigl[2\cdot1+0\bigr]=2.

Passo 3

Montar a linearização L(x,y) em (0,0) pela fórmula
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y =1+1\cdot x+2\cdot y =1+x+2y.

Passo 4

Aproximar f(0,04,-0,01) usando L:
L(0,04,-0,01)=1+0,04+2(-0,01)=1+0,04-0,02=1,02.

Resposta

(a) L(x,y)=1+x+2y
(b) f(0,04,-0,01)\approx1,02

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