Considere F(x, y, z)=x^{2} \cdot z+y \cdot \exp (z)-1=0, que define z como função diferenciável z=z(x, y) nas vizinhanças consideradas (Teorema da Função Implícita). Sejam as novas funções x(u, v)=u^{2}-v e y(u, v)=u \cdot v, e defina z(u, v)=z(x(u, v), y(u, v)). (a) Calcule z_{x} e z_{y} no ponto (x, y, z) correspondente a(u, v)=(\exp (1 / 6), \exp (1 / 3)). (b) Usando a Regra dă Cadeia, calcule z_{u} em (u, v)=(\exp (1 / 6), \exp (1 / 3)).

Passo 1

Estamos com a equação implícita
F(x,y,z)=x^{2}z + y\,\exp(z) - 1 = 0,
que define z=z(x,y) pela função implícita. Depois introduzimos a parametrização
x(u,v)=u^{2}-v,\quad y(u,v)=u\,v,
e definimos
z(u,v)=z\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr).
O objetivo é:
(a) Calcular \,z_x e \,z_y no ponto (x,y,z) correspondente a (u,v)=(\exp(\tfrac{1}{6}),\exp(\tfrac{1}{3})).
(b) Usar a regra da cadeia para achar \,z_u em (u,v)=(\exp(\tfrac{1}{6}),\exp(\tfrac{1}{3})).

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto (x,y,z). Para
u=\exp\!\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr),\quad v=\exp\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr),
temos
x = u^{2}-v = \exp\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)-\exp\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=0,
y = u\,v = \exp\!\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)\exp\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=\exp\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr).
Como F(0,y,z)=y\,\exp(z)-1=0, segue
\exp\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\exp(z)=1 \quad\Longrightarrow\quad z=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial F}{\partial x}=2x\,z,\quad F_y = \frac{\partial F}{\partial y}=\exp(z),\quad F_z = \frac{\partial F}{\partial z}=x^{2}+y\,\exp(z).
Pela função implícita,
z_x = -\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y = -\frac{F_y}{F_z}.
No ponto (0,y,z)=(0,\exp(\tfrac12),-\tfrac12) obtemos
F_x(0,y,z)=2\cdot0\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)=0, \quad F_y(0,y,z)=\exp\!\bigl(-\tfrac12\bigr), \quad F_z(0,y,z)=0^{2}+\exp\!\bigl(\tfrac12\bigr)\exp\!\bigl(-\tfrac12\bigr)=1.
Logo
z_x = -\frac{0}{1}=0, \quad z_y = -\frac{\exp(-\tfrac12)}{1}=-\exp\!\bigl(-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Agora usamos a regra da cadeia para
\,z(u,v)=z\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr):
z_u = z_x\,x_u + z_y\,y_u.
Como x(u,v)=u^2-v e y(u,v)=u\,v, temos
x_u = 2u,\quad y_u = v.
Em \bigl(u,v\bigr)=\bigl(\exp(\tfrac16),\exp(\tfrac13)\bigr) segue
x_u = 2\exp\!\bigl(\tfrac16\bigr), \quad y_u = \exp\!\bigl(\tfrac13\bigr),
e portanto
z_u = 0\cdot2\exp\!\bigl(\tfrac16\bigr) \;+\;\bigl(-\exp(-\tfrac12)\bigr)\exp\!\bigl(\tfrac13\bigr) =-\exp\!\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac12\Bigr) =-\exp\!\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr).

Resposta

(a) z_x = 0, z_y = -\exp\!\bigl(-\tfrac12\bigr).
(b) z_u = -\exp\!\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr).

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