Determine se a série
converge ou diverge. Verifique as condições do Teste da Integral e aplique-o para justificar sua conclusão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
utilizando o Teste da Integral. O conteúdo envolvido é o Teste da Integral para séries de termos positivos, que exige associar à série uma função contínua, positiva e decrescente e comparar a soma ao valor da respectiva integral imprópria.
Passo 2
Definimos a função
válida para
. Note que:
-
para todo porque e . -
é contínua em como produto de funções contínuas. - Para verificar que
é decrescente, calculemos a derivada:
Em
temos
, logo
. Portanto
é decrescente para
.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral, comparando a série à integral imprópria
Use a substituição
, daí
ou
. Os limites em
vão de
até
.
Passo 4
Com a substituição,
Essa integral é fácil de calcular:
que é finito.
Passo 5
Como
converge (é finito), o Teste da Integral garante que
também converge.
Resposta
A série converge.