Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}} converge ou diverge. Verifique as condições do Teste da Integral e aplique-o para justificar sua conclusão.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}
utilizando o Teste da Integral. O conteúdo envolvido é o Teste da Integral para séries de termos positivos, que exige associar à série uma função contínua, positiva e decrescente e comparar a soma ao valor da respectiva integral imprópria.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x e^{-x^{2}},
válida para x\ge1. Note que:
  1. f(x)>0 para todo x\ge1 porque x>0 e e^{-x^{2}}>0.
  2. f é contínua em [1,\infty) como produto de funções contínuas.
  3. Para verificar que f é decrescente, calculemos a derivada:
f'(x) = e^{-x^{2}} + x\bigl(-2x e^{-x^{2}}\bigr) = e^{-x^{2}}\bigl(1 - 2x^{2}\bigr).
Em x\ge1 temos 1-2x^{2}\le1-2<0, logo f'(x)<0. Portanto f é decrescente para x\ge1.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral, comparando a série à integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx.
Use a substituição u = x^{2}, daí du = 2x\,dx ou x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du. Os limites em u vão de u(1)=1 até u\to\infty.

Passo 4

Com a substituição,
\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{\infty} e^{-u}\,\frac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du.
Essa integral é fácil de calcular:
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{1}^{\infty} = \tfrac{1}{2}\bigl(0 - (-e^{-1})\bigr) = \tfrac{1}{2}e^{-1},
que é finito.

Passo 5

Como \displaystyle\int_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx converge (é finito), o Teste da Integral garante que
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^{2}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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