( 2,5 pontos) Uma massa de 3 kg está presa a uma mola com rigidez k=48 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa se encontra inicialmente \frac{1}{2} \mathrm{~m} acima do ponto de equilíbrio, com uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, se movendo para baixo. Desprezando o amortecimento, encontre a equação do movimento da massa, bem como a sua amplitude e o seu período. Faça um esboço do gráfico. Qual a posição da massa após \pi / 16 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento, com m=3\,\mathrm{kg}, k=48\,\mathrm{N/m}, deslocamento medido a partir do ponto de equilíbrio. Inicialmente a massa está \tfrac12\,\mathrm m acima do equilíbrio (logo x(0)=-\tfrac12) e velocidade x'(0)=2\,\mathrm{m/s} para baixo (positivo no sentido do movimento).

Passo 2

A equação da dinâmica é
m\,x'' + k\,x = 0,
isto é
x'' + \frac{k}{m}\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x'' + 16\,x = 0,
onde \omega = \sqrt{\tfrac{k}{m}} = 4. A solução geral é
x(t) = A\cos(4t) + B\sin(4t).

Passo 3

Usando as condições iniciais:
x(0) = A = -\tfrac12,
x'(t) = -4A\sin(4t) + 4B\cos(4t) \quad\Longrightarrow\quad x'(0) = 4B = 2 \;\Rightarrow\; B = \tfrac12.
Logo
x(t) = -\tfrac12\cos(4t) + \tfrac12\sin(4t).

Passo 4

A amplitude é
R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(\tfrac12\bigr)^2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\mathrm m.
O período é
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\,\mathrm s.

Passo 5

Esboço qualitativo: x(t) oscila harmonicamente entre \pm R com frequência angular 4, cruzando x=0 em instantes como t=\tfrac{\pi}{16},\tfrac{3\pi}{16},\dots.
Para t = \tfrac{\pi}{16}:
x\bigl(\tfrac{\pi}{16}\bigr) = -\tfrac12\cos\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{16}\bigr) + \tfrac12\sin\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{16}\bigr) = -\tfrac12\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \tfrac12\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\tfrac12\frac{\sqrt2}{2} + \tfrac12\frac{\sqrt2}{2} = 0.

Resposta

A equação do movimento é
x(t) = -\tfrac12\cos(4t) + \tfrac12\sin(4t).
A amplitude vale R = \tfrac{\sqrt2}{2}\,\mathrm m e o período é T = \tfrac{\pi}{2}\,\mathrm s.
A posição em t = \tfrac{\pi}{16}\,\mathrm s é x=\;0.

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