Um fóton com um comprimento de onda de 486,9 nm é emitido por um átomo de hidrogênio. Determine o maior número quântico, n, da transição responsável pela emissão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: um fóton com comprimento de onda de 486,9 , nm é emitido por um átomo de hidrogênio. Queremos descobrir qual é o maior número quântico n envolvido nessa transição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre os níveis de energia no átomo de hidrogênio e como eles se relacionam com o comprimento de onda dos fótons emitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia desse fóton que foi emitido. A energia ( E) de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda ( lambda) pela fórmula:
E = hclambda
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s)
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 , m/s)
  • lambda é o comprimento de onda ( 486,9 , nm ou 486,9 times 10^-9 , m)

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
E = 6,626 times 10^-34 , J·s times 3 times 10^8 , m/s486,9 times 10^-9 , m
Calculando o número:
E approx 1,9878 times 10^-25486,9 times 10^-9 approx 4,08 times 10^-19 , J
Mas geralmente trabalhamos com elétron-volt (eV) nessa escala, onde 1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J. Então:
E approx 4,08 times 10^-19 , J1,602 times 10^-19 , J/eV approx 2,55 , eV

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa energia com os níveis de energia do hidrogênio. A energia dos níveis no átomo de hidrogênio é dada por:
En = -13,6 , eVn^2
Onde n é o número quântico principal. Quando um elétron cai de um nível ni para um nível nf, a energia emitida é:
De
Como a energia emitida é positiva ( 2,55 , eV), temos:
2,55 = 13,6 ( 1nf^2 - 1ni^2 )

Passo 5

Vamos assumir que a transição ocorre para o nível nf = 2, que é comum na série de Balmer (responsável pelo que vemos no espectro visível do hidrogênio). Substituindo:
2,55 = 13,6 ( 12^2 - 1ni^2 )
Simplificando:
2,55 = 13,6 ( 0,25 - 1ni^2 )
Dividindo ambos os lados por 13,6:
0,1875 = 0,25 - 1ni^2
Isolando 1ni^2:
1ni^2 = 0,25 - 0,1875 = 0,0625
Logo:
ni^2 = 10,0625 = 16
E então:
ni = raiz16 = 4

Resposta

O maior número quântico n da transição responsável pela emissão é 4.

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