Considere o experimento que consiste em lançar três vezes uma moeda e observar a sequência dos resultados obtidos. Seja X a variável aleatória discreta definida pelo número de caras nos três lançamentos.
a) Defina o espaço amostral Omega deste experimento;
b) Determine X(a) para cada a in Omega;
c) Determine RX=Im(X);
d) Encontre a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

E aí, tudo certo? O enunciado diz: “Lançar uma moeda 3 vezes e observar cada resultado (cara ou coroa). Definimos uma variável aleatória X igual ao número de caras nos 3 lançamentos.”
Conteúdo: probabilidade básica, espaço amostral, variável aleatória discreta e função de distribuição acumulada.
O que vamos precisar:
  • Listar todos os resultados possíveis (espaço amostral).
  • Entender que X(a) conta quantas “caras” há em cada resultado.
  • Saber o que é a imagem de uma v.a. discreta.
  • Calcular probabilidades via combinatória (coeficiente binomial binomnk) e montar a função de distribuição acumulada FX(x)=P(X<= x).

Passo 2

Vamos definir o espaço amostral Omega. Cada lançamento pode dar Cara (C) ou Coroa (K), e fazemos 3 lançamentos. Então
Omega=(x1,x2,x3)mid xiinC,K
e, explicitamente, são 8 resultados:
  • (C,C,C)
  • (C,C,K)
  • (C,K,C)
  • (C,K,K)
  • (K,C,C)
  • (K,C,K)
  • (K,K,C)
  • (K,K,K)

Passo 3

Agora, para cada ainOmega, X(a) é o número de C naquele tuplo. Ou seja:
  • X((C,C,C))=3
  • X((C,C,K))=2
  • X((C,K,C))=2
  • X((K,C,C))=2
  • X((C,K,K))=1
  • X((K,C,K))=1
  • X((K,K,C))=1
  • X((K,K,K))=0

Passo 4

A imagem de X, que é o conjunto de valores que X pode assumir, é
RX=0,1,2,3

Passo 5

Vamos achar a função de distribuição acumulada FX(x)=P(X<= x). Primeiro, note que XsimBinomial(n=3,p=1/2), então
P(X=k)=binom3kl(tfrac12r)^3=binom3k8, k=0,1,2,3
Os valores são:
  • P(X=0)=binom308=18
  • P(X=1)=binom318=38
  • P(X=2)=binom328=38
  • P(X=3)=binom338=18
Agora a cumulativa:
FX(x)= 0, & x<0,[6pt] P(X=0)=tfrac18, & 0<= x<1,[6pt] P(X<=1)=tfrac18+tfrac38=tfrac48, & 1<= x<2,[6pt] P(X<=2)=tfrac48+tfrac38=tfrac78, & 2<= x<3,[6pt] 1, & x>=3
]

Resposta

a) Omega=(x1,x2,x3)mid xiinC,K com os 8 tuplos listados acima.
b) A tabela X(a) é
  • 3 para (C,C,C); 2 para (C,C,K),(C,K,C),(K,C,C);
  • 1 para (C,K,K),(K,C,K),(K,K,C); 0 para (K,K,K).
    c) RX=0,1,2,3.
    d)
    $\displaystyle
    F_X(x)=
    FX(x)= 0, & x<0, 1/8, & 0<= x<1, 4/8, & 1<= x<2, 7/8, & 2<= x<3, 1, & x>=3
    $

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