Considere o experimento que consiste em lançar três vezes uma moeda e observar a sequência dos resultados obtidos. Seja a variável aleatória discreta definida pelo número de caras nos três lançamentos.
a) Defina o espaço amostral deste experimento;
b) Determine para cada ;
c) Determine ;
d) Encontre a função de distribuição acumulada de .
Passo 1
E aí, tudo certo? O enunciado diz: “Lançar uma moeda 3 vezes e observar cada resultado (cara ou coroa). Definimos uma variável aleatória igual ao número de caras nos 3 lançamentos.”
Conteúdo: probabilidade básica, espaço amostral, variável aleatória discreta e função de distribuição acumulada.
O que vamos precisar:
Listar todos os resultados possíveis (espaço amostral).
Entender que conta quantas “caras” há em cada resultado.
Saber o que é a imagem de uma v.a. discreta.
Calcular probabilidades via combinatória (coeficiente binomial ) e montar a função de distribuição acumulada .
Passo 2
Vamos definir o espaço amostral . Cada lançamento pode dar Cara (C) ou Coroa (K), e fazemos 3 lançamentos. Então
e, explicitamente, são 8 resultados:
Passo 3
Agora, para cada , é o número de naquele tuplo. Ou seja:
Passo 4
A imagem de , que é o conjunto de valores que pode assumir, é
Passo 5
Vamos achar a função de distribuição acumulada . Primeiro, note que , então
Os valores são:
Agora a cumulativa:
]
Resposta
a) Omega=(x1,x2,x3)mid xiinC,K com os 8 tuplos listados acima.
b) A tabela X(a) é