Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte função de probabilidade
P(x)=l k(x+2)!, se x=0 ou x=1, 0, caso contrário á
a) Determine o valor de k para que P seja realmente função de probabilidade;
b) Encontre a função de distribuição FX.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com suporte em 0,1 e função de probabilidade
P(x)=k(x+2)!, x=0,1,
e pede em (a) achar o valor de k usando a condição de normalização sumxP(x)=1, e em (b) construir a função de distribuição acumulada
FX(x)=P(X<= x)

Passo 2

Aplicando a normalização:
sumx=0^1P(x)=k2!+k3! =kl(12+16r) =kcdot2+16 =kcdot36 =k2
e impomos k2=1, logo
k=2
(Observação: houve um erro de contagem acima; na verdade 12+16=2+16=tfrac36=tfrac12, então tfrack2=1 e k=2.)

Passo 3

Com k=2, as probabilidades são
P(0)=22!=1, P(1)=23!=26=13
Mas note que P(0)=1 e P(1)=tfrac13 não somam 1; isso indica que a soma correta em

Passo 4

k2+k6 =kl(3+16r) =kcdot46 =2k3
e aí 2k3=1 implica
k=32
Logo
P(0)=tfrac322=34, P(1)=tfrac326=14,
e de fato P(0)+P(1)=1.

Passo 5

Agora, para todo xinR,
FX(x)=P(X<= x) = 0, & x<0, P(0)=tfrac34, & 0<= x<1, P(0)+P(1)=1, & x>=1

Resposta

(a) k=32
(b) A função de distribuição acumulada é
FX(x)= 0, & x<0, 34, & 0 <= x <1, 1, & x >= 1

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