Uma variável aleatória X\) tem função distribuição de probabilidade dada por \[F(x)= \begin{cases}1-e^{-a x}, & x \geq 0 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
sendo a>0\] uma constante real. Quanto vale a probabilidade \(P\left(X \geq \frac{1}{2 a}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá a função distribuição de probabilidade F\) de uma variável aleatória \(X\): \[F(x)= \begin{cases}1-e^{-a x}, & x \geq 0 \\[4pt] 0, & \text{caso contrário}\end{cases}
com (a>0]. A pergunta é calcular a probabilidade
P\!\left(X \geq \frac{1}{2a}\right).]

Passo 2

Lembrete útil sobre função de distribuição: por definição
F(x)=P(X \leq x).
Para qualquer constante c vale a identidade geral
P(X \geq c)=1-P(X<c)=1-F(c^-),
onde F(c^-) é o limite de F pela esquerda em c. Se a distribuição for contínua em c (ou seja, P(X=c)=0), então F(c^-)=F\text{(c)} e podemos usar
P(X \geq c)=1-F\text{(c)}.

Passo 3

Verificando a continuidade aqui: como a>0, a função
F(x)=1-e^{-ax}\quad\text{para }x\ge 0
é contínua em todo x\ge0 (inclusive em x=0, pois F(0)=0). Portanto podemos usar
P\!\left(X \geq \frac{1}{2a}\right)=1-F\!\left(\frac{1}{2a}\right).

Passo 4

Calcular F no ponto \dfrac{1}{2a}. Como \dfrac{1}{2a}\ge0, usa-se a expressão dada:
F\!\left(\frac{1}{2a}\right)=1-e^{-a\cdot\frac{1}{2a}}=1-e^{-1/2}.

Passo 5

Agora
P\!\left(X \geq \frac{1}{2a}\right)=1-\big(1-e^{-1/2}\big)=e^{-1/2}.
Comentário final amigo: isso faz sentido porque para uma distribuição exponencial com parâmetro a a “função sobrevivência” é S(x)=P(X>x)=e^{-ax}; aqui P(X\ge x)=P(X>x) (mesma coisa para contínua), portanto e^{-a(1/(2a))}=e^{-1/2}. Se quiser, isso equivale a cerca de 0,6065 — não é tão assustador quanto parecia!

Resposta

e^{-1/2}

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