Considere o experimento “lançamento de dois dados”. Seja X a diferença absoluta entre as duas faces.
a. Qual é a densidade de probabilidade de X ?
b. Determine a função distribuição acumulada de X.

Passo 1

O enunciado nos pede, para o experimento de lançar dois dados, a variável aleatória X=|D1-D2|. Vamos trabalhar com variáveis discretas, encontrando a função massa de probabilidade (pmf) de X e depois a função distribuição acumulada (CDF). Para isso, precisamos contar os casos favoráveis em 36 resultados equiprováveis.

Passo 2

O espaço amostral tem 6times6=36 resultados iguais. Como X é a diferença absoluta, seus valores possíveis são 0,1,2,3,4,5.

Passo 3

Para cada k=0,1,dots,5, contamos quantos pares (i,j) satisfazem |i-j|=k. Se k=0, há 6 casos (quando i=j). Para k>=1, cada par (i,i+k) e (i+k,i) com i=1,dots,6-k contribui, totalizando 2(6-k) casos.

Passo 4

A probabilidade de X=k é então #casos36, ou seja
P(X=k)= dfrac636,&k=0, dfrac2(6-k)36,&k=1,2,3,4,5, 0,&caso contrário á
Simplificando, para k>=1, P(X=k)=6-k18.

Passo 5

A função distribuição acumulada F(x)=P(X<= x) é obtida somando sumi=0^lfloor xrfloorP(X=i). Calculando ponto a ponto:
F(0)=tfrac16, F(1)=tfrac16+tfrac1036=tfrac49, F(2)=tfrac49+tfrac836=tfrac23,
F(3)=tfrac23+tfrac636=tfrac56, F(4)=tfrac56+tfrac436=tfrac1718, F(5)=1

Passo 6

Expressando F(x) de forma piecewise:
F(x)= 0,&x<0, tfrac16,&0<= x<1, tfrac49,&1<= x<2, tfrac23,&2<= x<3, tfrac56,&3<= x<4, tfrac1718,&4<= x<5, 1,&x>=5

Resposta

Densidade de probabilidade de X:
P(X=k)= dfrac16,&k=0, dfrac6-k18,&k=1,2,3,4,5, 0,&caso contrário á
Função distribuição acumulada de X:
F(x)= 0,&x<0, tfrac16,&0<= x<1, tfrac49,&1<= x<2, tfrac23,&2<= x<3, tfrac56,&3<= x<4, tfrac1718,&4<= x<5, 1,&x>=5

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