O experimento consiste em lançar duas bolas em quatro caixas de modo que cada bola tem a mesma probabilidade de cair em qualquer uma das caixas. Seja
o número de bolas na primeira caixa.
a. Qual é a densidade de probabilidade de
?
b. Determine a função distribuição acumulada de
.
a. Qual é a densidade de probabilidade de
b. Determine a função distribuição acumulada de
Passo 1
O problema é lançar duas bolas em quatro caixas de forma independente e uniforme, e definir a variável aleatória X como o número de bolas que caem na primeira caixa. Vamos usar o conceito de distribuição binomial para resolver.
Passo 2
Cada bola tem probabilidade p = 1/4 de cair na caixa 1. Se definirmos indicadores I_i que valem 1 se a i-ésima bola cair na caixa 1 e 0 caso contrário, então X = I_1 + I_2, com I_1 e I_2 independentes e identicamente distribuídos como Bernoulli(p = 1/4). Portanto X ~ Binomial(n = 2, p = 1/4).
Passo 3
A função massa de probabilidade (densidade em variáveis discretas) de uma Binomial(2,1/4) é dada por P(X = k) = C(2,k) (1/4)^k (3/4)^{2-k}, para k = 0,1,2. Calculando cada termo: P(0) = (3/4)^2 = 9/16; P(1) = 2·(1/4)·(3/4) = 6/16; P(2) = (1/4)^2 = 1/16.
Passo 4
A função distribuição acumulada F(x) = P(X ≤ x) é obtida somando os termos da massa de probabilidade até cada ponto. Assim obtemos os valores de F(x) em cada intervalo de x.
Resposta
a) A densidade de probabilidade de X é
Em particular:
b) A função distribuição acumulada de X é