O experimento consiste em lançar duas bolas em quatro caixas de modo que cada bola tem a mesma probabilidade de cair em qualquer uma das caixas. Seja X o número de bolas na primeira caixa.
a. Qual é a densidade de probabilidade de X ?
b. Determine a função distribuição acumulada de X.

Passo 1

O problema é lançar duas bolas em quatro caixas de forma independente e uniforme, e definir a variável aleatória X como o número de bolas que caem na primeira caixa. Vamos usar o conceito de distribuição binomial para resolver.

Passo 2

Cada bola tem probabilidade p = 1/4 de cair na caixa 1. Se definirmos indicadores I_i que valem 1 se a i-ésima bola cair na caixa 1 e 0 caso contrário, então X = I_1 + I_2, com I_1 e I_2 independentes e identicamente distribuídos como Bernoulli(p = 1/4). Portanto X ~ Binomial(n = 2, p = 1/4).

Passo 3

A função massa de probabilidade (densidade em variáveis discretas) de uma Binomial(2,1/4) é dada por P(X = k) = C(2,k) (1/4)^k (3/4)^{2-k}, para k = 0,1,2. Calculando cada termo: P(0) = (3/4)^2 = 9/16; P(1) = 2·(1/4)·(3/4) = 6/16; P(2) = (1/4)^2 = 1/16.

Passo 4

A função distribuição acumulada F(x) = P(X ≤ x) é obtida somando os termos da massa de probabilidade até cada ponto. Assim obtemos os valores de F(x) em cada intervalo de x.

Resposta

a) A densidade de probabilidade de X é
P(X = k) = binom2k (14)^k (34)^2-k, k = 0,1,2
Em particular:
P(X=0)=(34)^2=916,
P(X=1)=2cdot14cdot34=616,
P(X=2)=(14)^2=116
b) A função distribuição acumulada de X é
F(x)=P(X<= x)= 0, & x<0, tfrac916, & 0<= x<1, tfrac1516, & 1<= x<2, 1, & x>=2

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