Uma lâmpada tem duração de acordo com a seguinte densidade de probabilidade:
f(x)=c 0,001 e^-0,001 x, para x>0 0, em caso contrário á
Determinar:
c) A duração mediana.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a duração mediana de uma lâmpada cuja vida é modelo exponencial, com densidade de probabilidade f(x)=0,001e^-0,001x para x>0. A mediana m é o valor que satisfaz P(X<= m)=0,5.

Passo 2

Em distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada (CDF) de X é dada por
$$
F(x)=\int_{0}{x}0,001e{-0,001t},dt=1-e^{-0,001x}.$$

Passo 3

Para achar a mediana, impomos
F(m)=0,5Longrightarrow1-e^-0,001m=0,5 o que leva a

Passo 4

Isolando o termo exponencial, temos
e^-0,001m=0,5
Aplicando logaritmo neperiano dos dois lados:

Passo 5

Tomando ln em ambos os lados,
-0,001m=ln(0,5)=-ln2,
portanto

Passo 6

Resolvendo para m,
m=ln20,001=1000ln2

Passo 7

Para um valor numérico aproximado, lembrando que ln2approx0,6931, obtemos mapprox693,1.

Resposta

A duração mediana é m=1000ln2approx693,1 unidades de tempo.

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