Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado da soma.
(2 a^3 b+c^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão
l(2a^3b + c^2r)^2
O conteúdo é o quadrado da soma, cuja identidade é
(x+y)^2 = x^2 + 2,x,y + y^2
Vamos usar essa fórmula para expandir e depois conferir que, ao fatorar, recuperamos a forma original.

Passo 2

Identificamos na nossa expressão
x = 2a^3b e y = c^2
Aplicando
(x+y)^2 = x^2 + 2,x,y + y^2,
temos
l(2a^3b + c^2r)^2 = (2a^3b)^2 + 2,(2a^3b),(c^2) + (c^2)^2

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
(2a^3b)^2 = 4a^6b^2,
2,(2a^3b),(c^2) = 4a^3b,c^2,
(c^2)^2 = c^4
Logo a expansão completa é
4a^6b^2 ;+; 4a^3b,c^2 ;+; c^4

Passo 4

Agora vamos fatorar
4a^6b^2 + 4a^3b,c^2 + c^4
Observando, todos os termos vêm de repetir dois fatores iguais:
4a^6b^2 = (2a^3b)^2, 4a^3b,c^2 = 2,(2a^3b),(c^2), c^4 = (c^2)^2
Portanto, por reversão da identidade do quadrado da soma, obtemos
4a^6b^2 + 4a^3b,c^2 + c^4 = l(2a^3b + c^2r)^2

Resposta

(a) A expansão é
4a^6b^2 + 4a^3b,c^2 + c^4
(b) Ao fatorar essa soma, recuperamos
l(2a^3b + c^2r)^2,
que é justamente a expressão original.

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