Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado da soma.
(a^23+3 a)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o quadrado da soma \r
l(a^23+3ar)^2. \r
(a) Queremos expandir esse binômio usando a identidade \r
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. \r
(b) Em seguida, fatorar o polinômio obtido e mostrar que volta ao formato original.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de expansão com \r
x = a^23 e y = 3a: \r
(x+y)^2 ;=; x^2 ;+;2xy;+;y^2 \r
Calculamos cada termo: \r
x^2 = l(a^23r)^2 = a^49, 2xy = 2cdota^23cdot 3a = 2a^3, y^2 = (3a)^2 = 9a^2 \r
Logo a expansão é \r
l(a^23+3ar)^2 = a^49 ;+;2a^3;+;9a^2

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio a^49+2a^3+9a^2. \r
Primeiro, colocamos a^2 em evidência: \r
a^49+2a^3+9a^2 = a^2l(a^29 + 2a + 9r) \r
Dentro do parêntese, note que \r
a^29 + 2a + 9 = 19l(a^2 + 18a + 81r) = 19(a+9)^2 \r
Portanto \r
a^49+2a^3+9a^2 = a^2cdot(a+9)^29 = a^2,(a+9)^29

Passo 4

Comparando com o original, note que \r
a^23+3a = a(a+9)3, \r
então
l(a^23+3ar)^2 = l(a(a+9)3r)^2 = a^2,(a+9)^29, \r
o que coincide com a fatoração que encontramos.

Resposta

(a) a^49 + 2a^3 + 9a^2 \r
(b) a^2,(a+9)^29 = l(tfraca^23+3ar)^2, ou seja, volta exatamente ao quadrado da soma original.

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