Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado da soma.
(4 m^3 x+5 n y^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a expressão
l(4m^3x + 5n y^2r)^2
usando o conteúdo de quadrado da soma, isto é, a identidade
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Vamos expandir a expressão e em seguida refatorá-la para verificar que voltamos à forma original.

Passo 2

Identificamos
a = 4m^3x, b = 5n y^2
Aplicando
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
temos:
a) a^2 = (4m^3x)^2 = 16,m^6,x^2
b) 2ab = 2 cdot (4m^3x)cdot(5n y^2) = 40,m^3,n,x,y^2
c) b^2 = (5n y^2)^2 = 25,n^2,y^4
Logo a expansão é
16,m^6x^2 ;+; 40,m^3n,x,y^2 ;+; 25,n^2y^4

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio
16,m^6x^2 + 40,m^3n,x,y^2 + 25,n^2y^4
Usando novamente a identidade de quadrado da soma, notamos que esse polinômio se escreve como
l(4m^3xr)^2 +2,(4m^3x)(5n y^2) +l(5n y^2r)^2 = l(4m^3x + 5n y^2r)^2

Passo 4

Ao comparar a fatoração com a expressão dada, vemos que recuperamos exatamente
l(4m^3x + 5n y^2r)^2,
confirmando que a expansão e a fatoração estão consistentes.

Resposta

(a) Expansão:
16,m^6x^2 + 40,m^3n,x,y^2 + 25,n^2y^4
(b) Fatorando de volta, obtém-se
l(4m^3x + 5n y^2r)^2,
igual à expressão original.

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