Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado da soma.
(3 a^2 b^3 c^4+2 x^2 y^3)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o quadrado da soma \r
(3a^2b^3c^4 + 2x^2y^3)^2. \r
No Passo 2 vamos expandir usando a fórmula \r
(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2, \r
onde u = 3a^2b^3c^4 e v = 2x^2y^3.

Passo 2

Calcular cada termo da expansão:\r
u^2 = l(3a^2b^3c^4r)^2 = 9a^4b^6c^8,
v^2 = l(2x^2y^3r)^2 = 4x^4y^6,
2uv = 2 cdot l(3a^2b^3c^4r)!cdot!l(2x^2y^3r) = 12a^2b^3c^4x^2y^3

Passo 3

Agora somamos esses três termos para obter a expansão completa:\r
(3a^2b^3c^4 + 2x^2y^3)^2 = 9a^4b^6c^8 ;+; 12a^2b^3c^4x^2y^3 ;+; 4x^4y^6

Passo 4

Para fatorar o resultado, notamos que ele é um trinômio quadrado perfeito: o primeiro termo é o quadrado de 3a^2b^3c^4, o último termo é o quadrado de 2x^2y^3 e o termo do meio é 2 vezes o produto desses dois. Logo,\r
9a^4b^6c^8 + 12a^2b^3c^4x^2y^3 + 4x^4y^6 = l(3a^2b^3c^4 + 2x^2y^3r)^2

Passo 5

Comparando com a expressão original, vemos que a fatoração retorna exatamente o mesmo binômio ao quadrado, confirmando a coerência entre expansão e fatoração.

Resposta

(a) A expansão é \r
9a^4b^6c^8 + 12a^2b^3c^4x^2y^3 + 4x^4y^6 \r
(b) A fatoração volta a dar
(3a^2b^3c^4 + 2x^2y^3)^2,
que é justamente a expressão dada.

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