Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado da soma.
(1x y^2+ax y)^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com o quadrado da soma de duas frações racionais. Vamos usar a fórmula
(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2,
onde identificaremos
u = 1x,y^2 e v = ax,y

Passo 2

Aplicando a fórmula (u+v)^2=u^2+2uv+v^2, calculamos cada termo:
u^2 = (1x,y^2)^2 = 1x^2,y^4,
2,u,v = 2 cdot 1x,y^2 cdot ax,y = 2ax^2,y^3,
v^2 = (ax,y)^2 = a^2x^2,y^2
Somando tudo, a expansão é
(1x,y^2 + ax,y)^2 = 1x^2,y^4 + 2ax^2,y^3 + a^2x^2,y^2

Passo 3

Para fatorar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador x^2y^4:
1x^2,y^4 + 2ax^2,y^3 + a^2x^2,y^2 = 1 + 2a,y + a^2y^2x^2,y^4
Note que no numerador temos um quadrado perfeito:
1 + 2a,y + a^2y^2 = (1 + a,y)^2
Logo
1 + 2a,y + a^2y^2x^2,y^4 = (1 + a,y)^2x^2,y^4

Passo 4

Reescrevendo
(1 + a,y)^2x^2,y^4 = gl(1 + a,yx,y^2gr)^2 = gl(1x,y^2 + ax,ygr)^2,
que é exatamente a expressão dada. Assim a fatoração reconduz ao quadrado da soma original.

Resposta

(a) 1x^2y^4 + 2ax^2y^3 + a^2x^2y^2
(b) Fatorando obtém-se (1 + a,y)^2x^2y^4, que equivale a l(tfrac1x,y^2+tfracax,yr)^2.

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