Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de uma diferença.
(5 a-b)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão (5a - b)^2 e pede:
  1. Expandir essa expressão, isto é, escrever como um polinômio em a e b.
  2. Em seguida, fatorar o polinômio obtido e verificar que voltamos à forma original.
    O conteúdo é o “quadrado de uma diferença”, cuja fórmula geral é
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

Passo 2

Para expandir (5a - b)^2 aplicamos a fórmula com x = 5a e y = b:
(5a - b)^2 = (5a)^2 - 2,(5a),b + b^2
Calculando cada termo:
(5a)^2 = 25a^2, -2,(5a),b = -10ab, b^2 = b^2
Logo a forma expandida é
25a^2 - 10ab + b^2

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio 25a^2 - 10ab + b^2. Observamos que ele é um trinômio quadrado perfeito pois:
  • O primeiro termo é (5a)^2.
  • O último termo é (b)^2.
  • O termo do meio é -10ab, que coincide com -2cdot(5a)cdot b.
    Por isso a fatoração é exatamente
(5a - b)^2

Resposta

Expansão: ,25a^2 - 10ab + b^2
Fatoração: ,(5a - b)^2, que coincide com a expressão dada.

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