Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de uma diferença.
(2 a^3 b^2-12 x^2 y)^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois refatorar a expressão do tipo “quadrado de diferença”
l(2a^3b^2 - tfrac12x^2yr)^2
O conteúdo necessário é a fórmula do binômio ao quadrado, que diz
(u - v)^2 = u^2 ;-; 2,u,v ;+; v^2

Passo 2

Identificamos
u = 2a^3b^2, v = tfrac12x^2y
Logo, pela fórmula do binômio ao quadrado,
l(2a^3b^2 - tfrac12 x^2yr)^2 = u^2 ;-; 2,u,v ;+; v^2

Passo 3

Calculemos cada termo separadamente:
u^2 = l(2a^3b^2r)^2 = 4,a^6b^4,
v^2 = l(tfrac12 x^2yr)^2 = tfrac14,x^4y^2,
-2,u,v = -2 times l(2a^3b^2r) times l(tfrac12 x^2yr) = -2,a^3b^2x^2y

Passo 4

Somando os três termos, obtemos a expansão completa:
4,a^6b^4 ;-;2,a^3b^2x^2y ;+;tfrac14,x^4y^2

Passo 5

Para refatorar, basta reconhecer que esse trinômio é perfeito, pois
4,a^6b^4 = l(2a^3b^2r)^2, tfrac14,x^4y^2 = l(tfrac12 x^2yr)^2,
e o termo do meio coincide com -2,(2a^3b^2),(tfrac12x^2y).
Portanto, a fatoração reencontra o binômio original:
l(2a^3b^2 - tfrac12 x^2yr)^2

Resposta

(a) 4,a^6b^4 ;-;2,a^3b^2x^2y ;+;tfrac14,x^4y^2
(b) l(2a^3b^2 - tfrac12x^2yr)^2

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