Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de uma diferença.
(m^3 x5-5 y^2m^3 x)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
(m^3x5-5y^2m^3x)^2,
que é um caso de “quadrado de uma diferença”. O conteúdo aqui é usar a identidade
(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2
Para expandir, vamos identificar A e B e calcular cada termo. Depois, vamos mostrar que ao fatorar de volta obtemos a expressão original.

Passo 2

Definimos
A = m^3x5, B = 5y^2m^3x
Pela identidade do quadrado da diferença, temos
(m^3x5-5y^2m^3x)^2 = A^2 - 2AB + B^2

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
A^2 = (m^3x5)^2 = m^6x^225,
B^2 = (5y^2m^3x)^2 = 25,y^4m^6x^2,
2AB = 2 cdot m^3x5 cdot 5y^2m^3x = 2,y^2
Então a expansão fica
m^6x^225 ;-; 2y^2 ;+; 25,y^4m^6x^2

Passo 4

Agora vamos fatorar
m^6x^225 - 2y^2 + 25,y^4m^6x^2
Reconhecemos que esta expressão é exatamente um quadrado de diferença cujos termos quadráticos coincidiam com A^2 e B^2 e cujo termo misto é -2AB. Logo, ao fatorar temos
m^6x^225 - 2y^2 + 25,y^4m^6x^2 = (m^3x5 - 5y^2m^3x)^2

Resposta

(a) A expansão é
m^6x^225 - 2y^2 + 25,y^4m^6x^2
(b) Fatorando de volta, obtém-se
(m^3x5 - 5y^2m^3x)^2,
que coincide com a expressão dada.

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