Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto da soma pela diferença.
(2 a-3)(2 a+3)

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a expressão (2a-3)(2a+3):
(a) expandir esse produto;
(b) depois fatorar o resultado e verificar que volta à forma original.
O conteúdo aqui é a identidade do produto da soma pela diferença, que diz
(x - y)(x + y) = x^2 - y^2

Passo 2

Vamos expandir (2a-3)(2a+3) aplicando a distributiva (princípio de somar os quatro termos):
(2a-3)(2a+3) = 2acdot2a + 2acdot3 - 3cdot2a - 3cdot3
Agora calculamos cada produto:
2acdot2a = 4a^2, 2acdot3 = 6a, -3cdot2a = -6a, -3cdot3 = -9
Somando tudo, os termos +6a e -6a se anulam, ficando
(2a-3)(2a+3) = 4a^2 - 9

Passo 3

Para fatorar 4a^2 - 9 reconhecemos que é uma diferença de quadrados:
4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2
Pela identidade (x-y)(x+y)=x^2-y^2 com x=2a e y=3, obtemos
4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)

Passo 4

Comparando a fatoração com a expressão inicial, vemos que voltamos exatamente a (2a-3)(2a+3). Isso confirma a consistência da expansão e da fatoração.

Resposta

(a) 4a^2 - 9
(b) (2a - 3)(2a + 3)

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