Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto da soma pela diferença.
(a^3 b^2+1)(a^3 b^2-1)

Passo 1

O enunciado pede para manipular a expressão
l(a^3b^2+1r)l(a^3b^2-1r)
que é um produto da soma pela diferença. O conteúdo é a identidade de diferença de quadrados, que diz que
(x+y)(x-y)=x^2-y^2
Vamos usar essa identidade para (a) expandir e em seguida (b) refatorar o resultado.

Passo 2

Definimos
x = a^3b^2, y = 1
Então
l(a^3b^2+1r)l(a^3b^2-1r) =(x+y)(x-y) =x^2-y^2
Substituindo de volta, obtemos
x^2-y^2=(a^3b^2)^2-1^2 =a^6b^4-1

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio resultante a^6b^4-1. Novamente aplicamos diferença de quadrados, tomando
X = a^3b^2, Y = 1,
de modo que
a^6b^4-1 =X^2-Y^2 =(X+Y)(X-Y)
Substituindo X e Y volta, obtemos
a^6b^4-1 =l(a^3b^2+1r)l(a^3b^2-1r)

Passo 4

Ao comparar, vemos que a fatoração obtida coincide exatamente com a expressão dada no enunciado.

Resposta

(a) a^6b^4-1
(b) ,(a^3b^2+1)(a^3b^2-1), que é a expressão original.

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