Teste a convergenncia ou divergència das síuies.
sumn=1^infty sen(4 n)4^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftysin(4n)4^n
O conteúdo principal aqui é séries numéricas, em especial a noção de convergência absoluta: se sum|an| converge, então sum an também converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste de comparação na série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|sin(4n)4^n| <= sumn=1^infty14^n
Sabemos que
sumn=1^inftyq^n=q1-q para |q|<1,
então, com q=tfrac14,
sumn=1^infty14^n =tfrac141-tfrac14 =13<infty
Logo a série dos valores absolutos converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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